" Quando i primi Pitagorici dicevano che tutti gli oggetti sono composti da numeri (interi) o che i numeri sono l' essenza dell' universo, essi intendevano ciò in senso letterale, perché per loro i numeri erano quello che per noi sono gli atomi. Si ritiene anche che i Pitagorici del VI e del V secolo non distinguessero in realtà i numeri dai punti geometrici. Geometricamente, quindi un numero era un punto esteso o una sfera molto piccola... I Pitagorici erano soliti rappresentare i numeri mediante punti sulla sabbia o mediante ciottoli. Essi classificavano i numeri a seconda delle forme che si ottenevano disponendo nei vari modi i punti o i ciottoli. Così, i numeri 1, 3, 6, e 10 erano detti triangolari perché i corrispondenti punti potevano essere disposti a triangolo... I numeri 1, 4, 9, 16 venivano chiamati numeri quadrati perché intesi come punti potevano essere disposti in un quadrato... Dalle disposizioni geometriche alcune proprietà dei numeri interi risultavano evidenti. L' introduzione di un taglio, come in figura 1, mostra che la somma di due numeri triangolari consecutivi è un numero quadrato... Per passare da un numero quadrato al successivo i Pitagorici usavano lo schema mostrato nella figura 2. I punti situati a destra e al di sotto delle linee della figura formavano quello che essi chiamavano un gnomone. In simboli, quello che essi vedevano qui è che n² + (2n + 1) = (n + 1)². Inoltre, se partiamo con 1 e vi aggiungiamo il gnomone 3 e poi il gnomone 5, e così via, quello che otteniamo, nel nostro simbolismo, è 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)  =  n² ." M. Kline, Storia del pensiero matematico, vol. I, pp. 38-39, Einaudi, Torino 1991.

ii) Esigenza di rigore e transizione dal calcolo aritmetico all' 'analogia' geometrica.

I Pitagorici iniziarono un' analisi critica razionale della tradizione algoritmica babilonese (fondata sulla numerazione posizionale e sul calcolo digitale) nella risoluzione di problemi di conteggio e di misurazione. Essi applicarono agli algoritmi aritmetico-geometrici da loro introdotti l' esigenza di rigore logico introdotta nell' ambito della filosofia, ricercando dimostrazioni di validità dei metodi risolutivi e risultati esatti nei problemi di misurazione come in quelli di conteggio. La scoperta, fatta nell' ambito della loro ricerca, che il lato e la diagonale di un quadrato sono grandezze incommensurabili pose il problema di un possibile rinvio all' infinito del risultato di misurazioni fondamentali. Il calcolo digitale con cifre numeriche, proprio di un algoritmo matematico del discreto come l' aritmetica (e l' algebra) babilonesi, apparve inadeguato per la risoluzione esatta di problemi generali di misurazione e di conteggio. Apparve inoltre falsificato ogni modello razionale di tipo aritmetico dei fenomeni e dei processi naturali.

Il problema dell' esistenza di grandezze fra loro incommensurabili relegò in secondo piano il
metodo aritmetico-algebrico e portò all' introduzione di una teoria matematica del continuo, cioè di una teoria delle proporzioni (in greco 'analogie') fra grandezze spaziali (e temporali) infinitamente divisibili, rappresentate metaforicamente mediante linee geometriche. Tale geometria era intesa sia come metodo rigoroso di risoluzione di problemi generali e astratti, sia come strumento esatto di calcolo. Con questo metodo, ogni problema viene tradotto nel linguaggio di un' algebra geometrica che rappresenta i dati mediante lunghezze di segmenti invece che mediante cifre numeriche e la risoluzione del problema consiste nella costruzione geometrica del segmento che rappresenta la soluzione. La riga e il compasso divengono così sia mezzi di rappresentazione formale di relazioni astratte di 'analogia' fra grandezze (teoria delle proporzioni di Eudosso, metodo assiomatico-deduttivo di Euclide), sia strumenti precisi di calcolo analogico (l' errore relativo della misurazione è dato dal rapporto fra la larghezza e la lunghezza del segmento tracciato sulla carta di papiro).

La crisi dell' aritmo-geometria pitagorica e la scoperta da parte di Zenone dei paradossi relati-
vi alla dicotomia discreto-continuo indussero diversi filosofi a ritenere che né le grandezze discrete né quelle continue permettevano la costruzione di modelli matematici del movimento. Aristotele però dimostrò che la rappresentazione di intervalli spaziali mediante grandezze continue, infinitamente divisibili, permette una descrizione matematica del movimento purchè gli intervalli temporali siano rappresentati anch' essi mediante la metafora delle grandezze continue. Egli dimostrò così l' adeguatezza del modello cinematico di Eudosso, il quale aveva rappresentato la struttura spazio-temporale del moto dei corpi celesti mediante l' 'analogia' geometrica della composizione di moti circolari uniformi di sfere concentriche ruotanti intorno ad assi.

Nonostante sia in grado di gestire in modo razionale il difficile problema posto dall' esistenza
di grandezze fra loro incommensurabili e permetta di costruire un modello cinematico del moto dei corpi celesti, il metodo della geometria euclidea evidenzia dei limiti: i) rappresentazione sintetica implicita e non analitica esplicita dei numeri irrazionali; ii) uso di algoritmi analogici limitati al prodotto di tre fattori (le tre dimensioni dello spazio) e alle misure positive delle lunghezze dei segmenti; iii) mancanza di un metodo generale e astratto per la risoluzione dei problemi, dato che il sistema formale euclideo e il suo algoritmo analogico sono limitati dall' esigenza di una rappresentazione spazio-temporale dei concetti, riferita all' attività percettivo-motoria e all'intuizione immediata.

iii) Origine e sviluppo del metodo assiomatico-deduttivo.

• Nascita delle prime costituzioni politiche atte a garantire ai liberi cittadini la proprietà privata ereditaria della terra in base all' argomentazione dei diritti nelle pubbliche assemblee (costituzione delle poleis elleniche).
• Passaggio dal mithos al logos (discorso come nesso): liberazione del sapere del cittadino, libero proprietario fondiario, dalla soggezione al sapere sacerdotale e ricerca filosofica della verità (falsità) della (non) appartenenza di determinate proprietà e/o relazioni a entità individuali. Nasce il problema di ancorare la concatenazione delle deduzioni logiche a principi primi la cui verità è condivisa (Platone) per evitare un rinvio all' infinito della concatenazione o la deduzione di qualunque tesi da ipotesi arbitrarie (Sofisti).
• Applicazione ai fenomeni naturali del logos proprio della politeia e primo tentativo di costituire un modello matematico del cosmo: sviluppo dell' aritmo-geometria (scuola pitagorica) come tentativo di ricondurre la molteplicità delle forme naturali ad astratte configurazioni geometriche risultanti dalla combinazione di unità numeriche (relazioni astratte fra enti astratti).
• Analisi critica razionale della tradizione algoritmica babilonese nella risoluzione di problemi di conteggio o di misurazione; applicazione agli algoritmi dell' esigenza di rigore logico introdotta nell' ambito della filosofia e ricerca del risultato esatto e della dimostrazione della validità del metodo risolutivo nei problemi di misurazione come in quelli di conteggio.

• Introduzione della numerazione posizionale a base dieci con l' indicazione dello zero come cifra anche in posizione finale (Hindu, 600). I rapporti irrazionali fra grandezze incommensurabili sono trattati come numeri e il loro valore approssimato è espresso mediante cifre decimali.
• Introduzione dei numeri negativi e dello zero come numero accanto ai numeri positivi (Hindu, 600 d.C.): l' annullamento di grandezze positive e negative eguali in modulo viene trattato alla stregua dell' annullamento di crediti e debiti nel sistema creditizio (mediato da lettere di credito) e del clearing bancario.
• Risoluzione di equazioni di 2^ grado e di sistemi algebrici lineari con il metodo di trasporto e semplificazione (al Khowarizmi, 830 d.C.). Accanto e in contrapposizione al metodo sintetico della geometria si sviluppa così il metodo analitico dell' algebra, la quale determina le grandezze incognite anticipando il loro valore e operando su di esse come se fossero note (tale anticipazione di valore con richiesta di solvibilità corrisponde a quella in uso nel sistema creditizio).
• Con l' introduzione dei numeri negativi e con l' approssimazione dei numeri irrazionali mediante cifre decimali inizia lo sviluppo di algoritmi digitali ricorsivi svincolati dall' esigenza di un significato numerico immediato o da una rappresentazione spaziale delle relazioni fra grandezze, le quali costituicono il limite dell' aritmetica e degli algoritmi analogici della geometria. La generalità e l' astrazione sono però ancora limitate dalla mancanza di espressioni simboliche per i numeri e per le operazioni algebriche; manca inoltre la ricerca del valore esatto delle soluzioni e l' esigenza di rigore, cioè di dare una dimostrazione logica della validità dei procedimenti usati.
• Risoluzione delle equazioni algebriche di terzo e quarto grado con l' introduzione dei numeri complessi (Cardano-Ferrari-Viète, secolo XVI).
• Distinzione  fra i procedimenti generali dell' algebra (logistica speciosa) e quelli particolari dell' aritmetica (logistica numerosa) con l' introduzione del calcolo letterale (Viète, 1591), un algoritmo generale che opera in astratto con grandezze note e incognite; introduzione della distinzione tra costanti, parametri e variabili e denotazione dei diversi tipi di grandezze con diversi tipi di lettere. Il metodo analitico dell' algebra simbolica, meno formalizzato e non rigoroso, è tuttavia più generale e più astratto di quello sintetico della geometria.

I problemi di algebra geometrica di grado superiore al secondo non sono risolubili con riga e
compasso, ma richiedono l' utilizzazione della teoria delle sezioni coniche di Apollonio. Con l'applicazione dei procedimenti generali dell' algebra letterale alla teoria delle coniche si attua la transizione dall' algebra geometrica di Eudosso e Euclide alla geometria analitica (algebrica) di Descartes (1637) e Fermat (1637). Introduzione di un sistema di coordinate (Descartes) e rappresentazione della curva che esprime la relazione tra due variabili mediante un' equazione algebrica il cui grado classifica il tipo di funzione. Gli algoritmi algebrici rendono quasi automatici i procedimenti del pensiero e permettono di cogliere le connessioni tra problemi che nell' ambito della logica geometrica non presentano alcuna 'analogia' (Descartes).

Con l' applicazione degli algoritmi generali dell' algebra letterale al calcolo di aree e di volumi e con l' introduzione del nuovo concetto di derivata si attua la transizione dal metodo di esaustione di Archimede al calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz; il calcolo dell' integrale viene concepito algebricamente come l' inverso del calcolo della derivata (Newton) o del  differenziale (Leibniz).

La rappresentazione di entità continue come lunghezze, ampiezze e intervalli temporali con la metafora delle grandezze infinitamente divisibili e un' analogia geometrica fondata sulla teoria delle proporzioni di Eudosso hanno reso possibile una cinematica celeste. La rappresentazione della velocità istantanea con una grandezza continua (momento di velocità di Galilei), l' introduzione del sistema di coordinate (Descartes) e del grafico di una funzione come metafora della traiettoria o della linea oraria, lo sviluppo del concetto di tasso di variazione di una funzione come rapporto di grandezze evanescenti (Newton, 1669) o come rapporto di grandezze infinitesime (Leibniz, 1675) rendono ora possibile una dinamica.

iii) Transizione dall' analogia geometrica all' invarianza per trasformazioni proiettive.

L' applicazione dell' esigenza di generalità propria dell' algebra alla teoria delle sezioni coniche di Apollonio, mantenendo però l' uso dei procedimenti analogici propri della geometria, porta allo sviluppo della geometria proiettiva di Desargues (1639). Poiché la relazione di parallelismo non è invariante per proiezione e sezione, Desargues introduce i punti all' infinito comuni a rette parallele. Tale concezione, del tutto estranea sia alla geometria euclidea che all' astronomia sferica, permette di considerare la retta e i vari tipi di coniche come forme geometriche derivabili l' una dall' altra mediante un cambiamento continuo. Poiché le proprietà di posizione e di intersezione sono logicamente prioritarie rispetto alle proprietà metriche, lo studio delle proprietà invarianti per trasformazioni proiettive rende la geometria proiettiva più generale e più astratta della geometria euclidea.

iv) Transizione dalla teoria geometrica alla teoria meccanico-analitica.

L' applicazione della geometria analitica e del calcolo infinitesimale allo studio dei processi naturali sia celesti che terrestri porta allo sviluppo di una meccanica analitica (Eulero, Lagrange), cioè di una teoria dei sistemi di punti materiali interagenti che costituisce un modello meccanico sia per i corpi rigidi che per i fluidi, sia per il moto di punti materiali che per i moti ondulatori. Partendo dal principio di minima (o massima) azione di Leibniz e Maupertuis (1744) e utilizzando il metodo del calcolo delle variazioni di Eulero, Lagrange (1788) ricava il sistema di n equazioni differenziali del moto di un sistema dinamico a n gradi di libertà, la cui forma  invariante è espressa in coordinate generalizzate; una soluzione del sistema di equazioni corrisponde a una traiettoria nello spazio delle configurazioni a n dimensioni del sistema dinamico. Interpretando la funzione oraria come linea e l'evento come punto, Lagrange aveva già messo sullo stesso piano le tre coordinate spaziali e la coordinata temporale e considerato la meccanica analitica come un' estensione della geometria analitica; egli ora introduce uno spazio che descrive le possibilità dinamiche di un sistema, le cui dimensioni corrispondono ai suoi gradi di libertà, distinto dallo spazio geometrico reale. La concezione di Leibniz dell' insieme di mondi possibili come un insieme di possibilità controfattuali assume così la veste di un insieme di possibilità dinamiche.

L' analogia geometrica, fondata sui concetti di grandezza continua, infinitamente divisibile, di proporzione fra grandezze, di congruenza o similitudine, viene relegata in secondo piano dallo
sviluppo dell' analogia meccanica, fondata sul concetto dinamico di variabile continua, che può assumere infiniti valori, di funzione continua di più variabili, di limite di una funzione e di invarianza per trasformazione continua (invarianza per trasformazione di coordinate).

v) Metodo induttivo-ipotetico-deduttivo e necessità di una logica a base algoritmica.

L' analisi infinitesimale (geometria analitica + calcolo infinitesimale) viene considerata da  Euler (1748) e da Lagrange (1755) come un' estensione dell' algebra applicata alle grandezze continue della geometria, come un' algebra delle grandezze infinitesime o infinite (sia positive che negative), le quali sono accettate dall' intuizione anche se non sono esattamente definite. Vengono prese in considerazione solo funzioni analitiche, cioè funzioni algebriche o funzioni esprimibili mediante un' espansione in serie di potenze, cioè concepibili come estensione di funzioni algebriche (funzioni derivabili il cui grafico è una linea continua).

Il problema di costruire una fondazione logica per il sistema numerico e per l' algebra risulta
a quest' epoca estremamente difficile: viene così accettata una definizione puramente intuitiva, non rigorosa, del concetto di limite e di continuità. L' analisi infinitesimale si riduce a un puro algoritmo la cui efficacia nel descrivere e risolvere problemi fisici risulta però evidente; l' intuizione fisica, il procedere per tentativi ed errori, la generalizzazione a partire da casi particolari, cioè le inferenze probabili di tipo induttivo o ipotetico, precedono storicamente (ciò vale in generale e non solo in quest' epoca) la codificazione in un sistema formale assiomatico-deduttivo, logicamente coerente.

Con la rivoluzione politica francese e la rivoluzione industriale inglese termina in Europa il predominio della proprietà privata della terra (mediato dal capitale commerciale e manifatturiero) e inizia il predominio del capitale industriale (e del capitale finanziario): la classe borghese, il cui potere economico era inserito nell' ambito del potere politico della classe di proprietari fondiari, deve ora gestire da sola entrambi i poteri e cercare il fondamento del diritto nel capitale accumulato con l' attività imprenditoriale individuale piuttosto che nella proprietà privata ereditaria della terra. L' argomentazione, nell' ambito della costituzione politica, dei diritti acquisiti con la proprietà privata della terra (logos) era distinta dal calcolo economico fondato sull' anticipazione del valore (algoritmo) così come i liberi proprietari fondiari erano distinti da artigiani e mercanti; ma una nuova logica a base algoritmica deve subentrare ora che il diritto politico del proprietario privato è fondato sulla sua attività economica di imprenditore che anticipa il valore.