3. Metodo induttivo-ipotetico-deduttivo e modelli matematici del mondo fisico.

... Tra il 1880 ed il 1900 la scienza fu dominata da uno scontro che da un lato investiva direttamente la concezione statistica e le conseguenze delle tesi sull’irreversibilità, mentre dall’altro lato si allargava sino a coinvolgere due opposte concezioni del mondo fisico: quella ondulatoria e quella corpuscolare. E in questo scontro non si trattava unicamente di prender partito fra gli atomi e le onde, ma si trattava altresì di capire se le scienze conoscevano il mondo obiettivo, o se invece altro non erano se non razionalizzazioni di meri dati soggettivi ( E. Bellone, I modelli e la concezione del mondo nella fisica moderna da Laplace a Bohr ).

Le riflessioni epistemologiche di Boltzmann furono dominate dal problema del rapporto fra le teorie scientifiche e il mondo obiettivo. In una lezione tenuta a Graz il 16/07/1890 egli afferma:

Non sarei un vero teorico se per prima cosa non chiedessi: Che cos’è la teoria?... Ritengo che compito della teoria sia costruire un’immagine del mondo esterno che esiste solo in noi, che ci serva da guida in tutti i nostri pensieri ed esperimenti; cioè, per così dire, ci serva da guida nel compimento del processo di ragionamento, la cui realizzazione è, in grande, ciò che nella creazione di ogni idea in noi si compie in piccolo... La prima elaborazione e il costante perfezionamento del modello è quindi il compito principale della teoria. La fantasia è sempre la sua culla, l’intelletto vigile il suo educatore ( Sul significato delle teorie, Graz 16/07/1890 ).

Qual è la posizione che Boltzmann assume nei confronti dei modelli?

In primo luogo perché i teorici che tendono a muoversi unicamente sul terreno del formalismo matematico corrono il rischio di confondere le equazioni con la realtà:

Così può accadere che il matematico, continuamente occupato con le sue formule e accecato dalla loro perfezione intrinseca, prenda le correlazioni di queste fra loro per ciò che esiste veramente e distolga lo sguardo dal mondo reale ( Sul significato delle teorie, Graz 16/07/1890).

In secondo luogo Boltzmann non ritiene possibile costruire una teoria muovendo da dati empirici spogli di ogni interpretazione

Anche i fisici che pretendono di non costruire modelli ma di limitarsi a pure discussioni matematiche, compiono, in realtà, un lavoro di produzione di modelli… Io ritengo che sia un' illusione da parte della fenomenologia aver pensato di poter rappresentare la natura senza in qualche modo andare oltre l’esperienza. Nessuna equazione rappresenta in modo assolutamente esatto certi fenomeni, ognuna li idealizza, ne tira fuori qualcosa di comune e prescinde da ciò che è diverso, va dunque oltre l’esperienza. Il fatto che ciò sia necessario, se vogliamo avere una qualche idea che ci permetta di predire qualcosa di futuro, deriva dalla natura dello stesso processo mentale, consistente nell’aggiungere qualcosa all’esperienza e creando un’immagine mentale che non è l’esperienza e per questo può rappresentare molte esperienze… L’esperienza, dice Goethe, è sempre solo esperienza a metà… La fenomenologia non dovrebbe… vantarsi del fatto di non andare oltre l’esperienza, ma solo mettere in guardia dal farlo in misura troppo ampia.
Anche quando essa pensa di non fissare nessuna immagine per la natura, si sbaglia. I numeri, le loro relazioni e i loro raggruppamenti sono proprio immagini dei fenomeni come le idee geometriche della meccanica. Le prime sono solo più sobrie, migliori per la rappresentazione quantitativa, ma per questo meno adatte a mostrare prospettive essenzialmente nuove: sono cattive guide euristiche; e tali si rivelano tutte le idee della fenomenologia generale in quanto immagini dei fenomeni. Si otterrà quindi il miglior risultato usando sempre tutti i mezzi di rappresentazione a seconda della necessità, ma non tralasciando di verificare ad ogni passo le immagini su nuove esperienze ( Sullo sviluppo dei metodi della fisica teorica, Monaco 22/09/1899 ).

Le equazioni differenziali della fenomenologia fisico-matematica non sono evidentemente nient’altro che regole per la costruzione e la connessione di numeri e concetti geometrici, ma questi, di nuovo, non sono nient’altro che immagini mentali da cui si possono predire i fenomeni. Esattamente lo stesso vale per le idee dell’atomismo, cosicché io non riesco a riconoscere la minima differenza sotto questo aspetto. Del resto di un insieme di fenomeni non mi sembra mai possibile una descrizione diretta, ma sempre soltanto un’immagine mentale. Quindi non bisogna dire con Ostwald: "non dovresti crearti alcuna immagine"; ma soltanto: "in essa dovresti includere il minor numero possibile di elementi arbitrari" ( Sull’indispensabilità dell’atomismo nella scienza, 1897 ).

... Tuttavia non ci abbandoneremo neanche all’illusione di potercela cavare senza alcuna astrazione. E’ mia opinione che sia impossibile enunciare una sola proposizione che sia realmente solo un puro dato dell’esperienza. Le parole più semplici come giallo, dolce, amaro ecc., che sembrano indicare pure sensazioni, esprimono concetti ottenuti per astrazione da dati dell’esperienza.  Quando Goethe dice che l’esperienza è esperienza solo a metà, vuole sicuramente dire con questa frase, apparentemente paradossale, che per ogni comprensione concettuale o rappresentazione verbale dell’esperienza, è necessario superare quest’ultima. L’esigenza, sovente espressa, per cui la scienza non dovrebbe mai andare oltre l’esperienza, dovrebbe, a mio parere, essere formulata così: non si deve mai andare troppo oltre l’esperienza, ma si dovrebbero introdurre solo quelle astrazioni che essa permette di verificare in breve tempo. ( Sui principi e le equazioni fondamentali della meccanica, Clark University 1899 ).

… Una caratteristica del genere, attribuita arbitrariamente all’immagine degli atomi, è la loro invariabilità. Il rimprovero, secondo cui si è in presenza di una generalizzazione infondata dell’invariabilità dei corpi solidi, che è stata osservata e dura solo per un tempo limitato, sicuramente era giustificato, fintanto che, come è successo in passato, si è cercato di dimostrare l’invariabilità degli atomi a priori. Perciò noi l’accettiamo nella nostra immagine in modo che essa riesca a rappresentare il più possibile l’essenza di molti fenomeni, come si accetta la derivata prima rispetto al tempo e la seconda rispetto alle coordinate nell’equazione della conduzione del calore, perché si adatti ai fatti. Siamo pronti a lasciar perdere l’invariabilità in casi in cui un’altra ipotesi rappresenti meglio i fenomeni... L’invariabilità degli atomi fa parte quindi di quelle idee che si sono dimostrate molto utili, sebbene le osservazioni metafisiche con le quali si è giunti non reggano ad una critica senza pregiudizi" ( Sull’ indispensabilità dell’atomismo nella scienza,1897 ). Tutte le nostre idee ed i nostri concetti sono solo immagini mentali interne... Possiamo quindi porre formalmente domande del genere: se esista solo la materia e la forza sia una sua qualità, o se questa esista indipendentemente dalla materia, o se al contrario la materia sia un prodotto della forza; ma tutte queste domande non hanno alcun significato, poiché tutti questi concetti sono solo immagini mentali che hanno lo scopo di rappresentare i fenomeni in modo esatto... Ora, se noi siamo convinti che la scienza sia solo un’immagine interna, una costruzione del pensiero, che non può mai coprire la molteplicità dei fenomeni, ma può solo rappresentare, secondo determinate regole, certe parti di essi, come arriveremo ad una tale immagine? Come potremmo rappresentarla il più sistematicamente e chiaramente possibile? Prima si preferiva un metodo che ricalcava quello usato da Euclide in geometria e che quindi possiamo definire euclideo. Questo parte dal minor numero di principi i più evidenti possibili. In tempi antichi questi venivano considerati come evidenti a priori, come direttamente dati all’intelletto, per cui venivano detti assiomi. Più tardi invece fu attribuito loro solamente il carattere di postulati sufficientemente garantiti dall’esperienza. Quindi da questi assiomi venivano dedotte con l’aiuto delle leggi del pensiero certe immagini come necessarie e si pensava di aver trovato una prova del fatto che queste erano le uniche possibili e non potevano essere sostituite da altre...
Ma la forza probatoria di questo metodo deduttivo venne a poco a poco screditata ed il primo passo in questo senso fu quello per cui, come ho già detto prima, si passò da un principio evidente a priori ad uno solamente verificato dall’esperienza. Si comprese inoltre che anche le deduzioni da quel principio non possono essere fatte senza innumerevoli nuove ipotesi e quindi Hertz infine fece notare che, in particolare nel campo della Fisica, la nostra convinzione dell’esattezza di una teoria generale non si basa essenzialmente sulla deduzione di questa secondo il metodo euclideo, ma anche si basa sul fatto che questa teoria, in tutti i casi noti finora, ci porta a conclusioni errate in relazione ai fenomeni. Egli fece uso di questa opinione per la prima volta nella sua presentazione delle equazioni fondamentali di Maxwell sulla teoria dell’elettricità e del magnetismo, suggerendo di non preoccuparsi assolutamente di dedurle partendo da certi principi fondamentali, ma di metterle semplicemente come punto di partenza e cercarne la giustificazione nel successivo completo accordo di queste con l’esperienza; infatti questa rimane in definitiva l’unica in grado di giudicare l’utilità di una teoria ed il suo giudizio è inappellabile ed irremovibile…
Alcune immagini, come quelle della teoria meccanica del calore, furono create gradualmente nel corso dei secoli attraverso la cooperazione di molti studiosi. Alcune vennero trovate da un unico scienziato geniale, benché spesso attraverso percorsi lunghi ed intricati, e solo in seguito poste da altri in luce del tutto diversa, come per esempio la già citata teoria maxwelliana dell’elettricità e del magnetismo. Ora ci sarà una rappresentazione che possiede particolari pregi, ma anche dei difetti.  Questa rappresentazione consiste nel fatto che noi operiamo all’inizio solo con astrazioni mentali, memori del fatto che il nostro compito è quello di creare solo immagini ideali interne.  Così facendo non ci occupiamo per nulla ancora degli eventuali fatti basati sull’esperienza. Cerchiamo solamente di sviluppare le nostre immagini mentali con più chiarezza possibile e di trarne tutte le possibili conseguenze. Solo in seguito, dopo che è stata completata l’intera esposizione dell’immagine, verifichiamo il suo accordo con i dati di fatto basati sull’esperienza; in tal modo motiviamo, quindi, solo a posteriori perché si debba scegliere l’immagine proprio così e non altrimenti, senza averne fatto alcun cenno precedentemente. Chiamiamola rappresentazione deduttiva…. Per altro, in questo metodo di rappresentazione compare in maniera particolarmente forte l’arbitrarietà delle immagini, dato che si comincia con delle creazioni mentali del tutto arbitrarie e la loro necessità non viene motivata all’inizio, ma giustificata solo in seguito.
 …Però si potrebbe sviluppare l’immagine anche secondo il metodo opposto, partendo direttamente dai fatti come si presentano all’osservazione imparziale, facendo scaturire le immagini da questi fatti gradualmente ed introducendo tutte le astrazioni solo quando queste non possono essere assolutamente più evitate.  Chiameremo quest’ultima rappresentazione induttiva. Essa, rispetto alla deduttiva, ha lo svantaggio che le immagini non si manifestano fin dall’inizio in modo così puro, e quindi la loro coerenza intrinseca non è così chiaramente riconoscibile. Ma ha anche il vantaggio di sostituire il procedimento deduttivo, astratto e distaccato dalla realtà, con un metodo legato solo a ciò che è immediatamente dato, mostrando nel modo più chiaro possibile come sono nate le immagini astratte e perché ricorriamo proprio a queste. ( Sui principi e le equazioni fondamentali della meccanica, Clark University 1899). ... Nella fisica teorica, oltre all’atomismo nella sua forma attuale, si usa un secondo metodo, cioè la rappresentazione di un insieme di fatti il più limitato possibile mediante equazioni differenziali. La chiameremo fenomenologia su base fisico-matematica. Poiché questa dà un’immagine nuova dei fatti ed è ovviamente vantaggioso possedere più immagini che si può, è, naturalmente accanto all’atomismo nella sua forma attuale, di alto valore... Se si pensa ad una possibile immagine del mondo onnicomprensiva, ... , è ancora incerto se questa sia più facilmente raggiungibile secondo il metodo fenomenologico o attraverso il perfezionamento costante e la conferma sperimentale delle immagini dell’atomismo attuale. Si potrebbe anche pensare che possano esistere diverse immagini del mondo che posseggono tutte le stesse caratteristiche ideali. ( Sull’indispensabilità dell' atomismo nella scienza, 1897 ).

... E’ perfino possibile che possiamo costruire un sistema di immagini dei fenomeni in modi diversi. Ognuno di questi sistemi non è ugualmente semplice e non rappresenta i fenomeni ugualmente bene. Ma può essere dubbio, ed in un certo qual modo una questione di gusti, quale noi consideriamo più semplice, attraverso quale rappresentazione dei fenomeni ci sentiamo più soddisfatti. La scienza perde in questo modo la sua impronta unitaria. In passato si rimaneva fedeli al fatto che potesse esistere solo una verità: gli errori erano molti, ma la verità una sola ( Sui principi e le equazioni fondamentali della meccanica, Clark University 1899 ).

Cristiana Toletti - Brani scelti da: L. Boltzmann, Modelli matematici, fisica e filosofia, Bollati Boringhieri, Torino 1999.

  4. Modelli complementari del calore.

Il lavoro che segnò il passaggio da uno studio empirico dei fenomeni termici alla formulazione matematica delle leggi del calore fu la Memoria sul Calore, presentata all’Accademia Francese delle Scienze da Lavoisier e Laplace, nel 1780. Nella relazione viene presentato anche un nuovo strumento, il calorimetro a ghiaccio, che, con qualche perfezionamento, continuerà ad essere usato fino ai giorni nostri. Esso si basa su un principio molto semplice: è possibile misurare la quantità di calore assorbita da una massa di ghiaccio a 0°C misurando il volume d’acqua prodotto nella fusione. Nel lavoro vengono esaminate anche le ipotesi sulla natura del calore:

Gli scienziati sono divisi sulla natura del calore. Molti di loro lo considerano un fluido, diffuso ovunque, che penetra più o meno nei corpi a seconda della loro temperatura e della loro tendenza specifica a trattenerlo; esso può combinarsi con i corpi e, in tal caso cessa di agire sul termometro e non può più essere trasmesso da un corpo ad un altro; solo quando è libero e può quindi distribuirsi nei corpi fino a raggiungere uno stato di equilibrio, esso forma ciò che noi chiamiamo calore libero.
Altri fisici pensano che il calore non sia altro che il risultato dei moti impercettibili delle molecole che compongono la materia. Sappiamo che tutti i corpi, anche i più densi, sono riempiti di un gran numero di pori o piccoli spazi vuoti, il cui volume può essere molto più grande di quello della materia che essi racchiudono; tali spazi vuoti permettono alle particelle invisibili di oscillare in tutti i sensi, ed è naturale pensare che le particelle siano animate da una agitazione continua che, se aumenta oltre un certo punto, può separare le particelle e decomporre il corpo; secondo i fisici di cui stiamo parlando questo movimento interno costituisce il calore.
Per sviluppare questa ipotesi faremo osservare che, in tutti i moti in cui avvengono cambiamenti violenti, esiste una legge generale che i matematici chiamano "principio di conservazione delle forze vive"; questa legge afferma che, in un sistema di corpi che interagiscono in maniera qualsiasi, la forza viva, cioè la somma dei prodotti di ogni massa per il quadrato della sua velocità, è costante. Se i corpi vengono sottoposti a forze acceleratrici, la forza viva è uguale a quella che si aveva all’inizio del movimento, più la somma delle masse moltiplicate per i quadrati delle velocità dovute all’azione delle forze. Secondo l’ipotesi che stiamo esaminando, il calore è la forza viva dovuta ai movimenti impercettibili delle molecole di un corpo; essa è la somma della massa di ogni molecola per il quadrato della sua velocità.
Se si mettono in contatto due corpi aventi temperature differenti, i moti che essi si comunicheranno reciprocamente saranno disuguali; la forza viva del corpo più freddo aumenterà di una quantità uguale a quella persa dall’altro, e tale aumento continuerà ad avvenire finché i moti trasmessi da un corpo all’altro non diventeranno uguali; in tale stato la temperatura dei due corpi sarà uguale...
Noi non faremo una scelta tra le due ipotesi precedenti; parecchi fenomeni, come per esempio quello prodotto dall’attrito tra due corpi solidi, sembrano favorevoli alla seconda; altri vengono spiegati più semplicemente dalla prima ipotesi; forse entrambe sono contemporaneamente valide.

Lavoisier e Laplace giungono ad una specie di compromesso sui modelli del calore, che possono essere considerati complementari date le difficoltà che si incontravano nell’applicare l’uno e l’altro modello ad insiemi di dati sperimentali che, mentre erano spiegabili con il fluido non lo erano con la forza viva e viceversa.

Cristiana Toletti