1. Vengono introdotti alcuni termini tecnici non definiti: i termini primitivi.
2. Viene fornito un elenco di enunciati privi di giustificazione e concernenti i termini primitivi: questi enunciati primari vengono detti assiomi.
3. Tutti gli altri termini tecnici, detti termini definiti, vengono definiti per mezzo di termini introdotti precedentemente.
4. Tutti gli altri enunciati del discorso vengono dedotti logicamente a partire da enunciati precedentemente dimostrati o dagli assiomi: questi enunciati derivati vengono detti teoremi.

1. Ci devono essere dei termini primitivi; essi non possono essere definiti all’interno del sistema e perciò, all’interno del sistema, sono assolutamente privi di significato; sono semplici nomi per i diversi tipi di oggetti di cui tratta il sistema.
2. Ci devono essere degli assiomi; e dal momento che si riferiscono ai termini primitivi, anch’essi sono privi di significato e perciò non sono né veri né falsi; il fatto di accettarli indica semplicemente che conveniamo di trarne delle deduzioni.

In passato un sistema matematico veniva visto come combinazione tra forma (la struttura logica) e contenuto (il significato che gli veniva attribuito). Il punto di vista moderno, invece, è che un sistema matematico è sostanzialmente una pura struttura logica, cui si può annettere un significato o meno. In un sistema assiomatico formale non si attribuisce alcun significato ai termini primitivi. Anche se questo può sembrare un punto debole, in realtà è un punto di forza poiché ci lascia liberi di dar loro dei significati, ossia di interpretarli, in qualunque modo che trasformi gli assiomi in enunciati veri. In tal caso anche i teoremi diventano enunciati veri, e ciò che era privo di significato diviene conoscenza reale.

Un primo vantaggio è che avendo a che fare con termini non interpretati è meno facile farsi trarre in inganno da dimostrazioni fasulle: meno materiale ha sa disposizione la nostra immaginazione, meno è probabile che accetti accidentalmente qualcosa che non sia logicamente certo.

Un secondo vantaggio è che ci offre la capacità di riconoscere l’aspetto strutturale al di là delle differenti situazioni concrete.

L’introduzione di sistemi assiomatici formali costituisce una rivoluzione non solo matematica ma anche filosofica. Gli assiomi non sono proprietà evidenti relativa ad enti oggettivamente esistenti, sono regole, relazioni formali che definiscono esse gli enti dei quali si parla, enti che esistono solo quando gli assiomi vengono formulati, non prima di essi. D’altra parte anche questa nuova impostazione, di cui più sopra sono elencati i vantaggi, non è esente da difficoltà. Se ai sistemi assiomatici materiali poteva, giustamente, essere mossa l’obiezione che non esiste l’evidenza e che l’intuizione non rappresenta una garanzia, che cosa può dare la certezza che gli assiomi dei sistemi formali non nascondano, sia pure a grande profondità, una contraddizione? Il problema della impostazione formalistica è quindi quello della dimostrazione della coerenza (non contraddittorietà) del sistema di assiomi. E’ da notare che questo è un problema non di matematica, ma di metamatematica: si tratta infatti di dimostrare qualcosa non nella matematica, ma sulla matematica.

Nello studio di ogni sistema assiomatico è dunque fondamentale il presupposto che i relativi enunciati siano fra loro compatibili, cioè che non sia possibile dedurre da essi alcuna contraddizione logica. (L’impegno alla coerenza è implicito ogniqualvolta compiamo una dimostrazione per assurdo: ciò che ci permette di attribuire la responsabilità di una contraddizione esclusivamente all’ipotesi assurda assunta è la nostra convinzione che senza di essa non si sarebbe presentata alcuna contraddizione).Un sistema assiomatico è detto coerente se non dà luogo ad alcuna contraddizione nei suoi fondamenti, ossia nei suoi termini primitivi, termini definiti e assiomi.

C’è poi un altro aspetto filosofico che distingue gli assiomi come li pensava Euclide dagli assiomi di un sistema formale. Se gli assiomi della geometria sono verità evidenti relative ad oggetti dati allora essi sono anche verità assolute, che non possono essere mai supposte false. Se gli assiomi della geometria sono invece relazioni formali, è lecito chiedersi se non esista qualche teoria che verifica tutti gli assiomi meno uno, più la negazione di quell’uno escluso: se esista per esempio, qualche geometria non euclidea, qualche modello matematico di enti da chiamarsi "punti", "rette", "piani" nel quale sono verificati tutti gli assiomi di Euclide tranne il quinto.

Per dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico formale, se ne fornisce dunque un modello. Si dice modello di un sistema assiomatico formale ogni interpretazione dei termini primitivi tale che gli assiomi diventino enunciati veri.

Il termine "interpretazione" non è da intendere nel modo usuale, e cioè come "spiegazione di un significato", poiché non vi è alcun significato da spiegare, ma nel senso di "assegnazione di un significato". L’idea è che, siccome i termini primitivi non hanno significato intrinseco, possiamo attribuirgliene uno, con ciò anche gli assiomi acquistano un significato; se, poi, essi risultano tutti veri, abbiamo un modello.

Difficoltà: se ai sistemi assiomatici materiali poteva essere mossa l’obiezione che non esiste
                  l’evidenza, che l’intuizione non rappresenta una garanzia, che cosa può dare la
                  certezza che gli assiomi dei sistemi formali non nascondono una contraddizione?

Problema: dimostrare la coerenza (non contraddittorietà) del sistema di assiomi. Questo è un
                  problema di metamatematica (si tratta di dimostrare qualcosa non nella
                  matematica, ma sulla matematica.
Per dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico formale se ne fornisce un modello.

Modello: ogni interpretazione dei termini primitivi tale che gli assiomi diventino enunciati veri

Interpretazione: non è "la spiegazione di un significato"
                            ma è "l’assegnazione di un significato"

Poiché i termini primitivi non hanno significato intrinseco, possiamo attribuirgliene uno, così gli assiomi acquistano significato, se, poi, essi risultano tutti veri, abbiamo un modello.

Riferendosi ai sistemi assiomatici formali Russel disse:
"La matematica è quella disciplina in cui non si sa mai di che cosa si stia parlando, né se ciò che si dice sia vero"

Il sistema formale possiede tre simboli distinti: p  g  __ cioè le lettere p, g e il trattino.

Alfabeto: il sistema possiede i tre simboli: p  g  __

Si definiscono gli assiomi in modo tale da poter disporre di una procedura di decisione per l’assiomaticità di una stringa composta di un certo numero di p di g e di trattini __

Definizione:  x p __ g x __  è un assioma ogniqualvolta x è composto di soli trattini.
x deve denotare la stessa stringa di trattini nelle varie occorrenze.

Per esempio: __ __ p __ g __ __ __ è un assioma.

L’espressione "x p __ g x __" non è un assioma perché x non appartiene al sistema p g , si tratta di una specie di stampo dal quale si ricavano tutti gli assiomi, è uno schema di assiomi.

Regola: Supponiamo che x, y, z indichino determinate stringhe composte esclusivamente di trattini. Supponiamo di sapere già che x p y g z è un teorema. Allora x p y __ g z __  è un teorema.

Osservazioni:

1)  per esempio facciamo il caso che x sia  __  __ , y sia __  __  __  e z sia __ .

La regola ci dice che se è stato appurato che:
 __ __ p __ __ __ g __ è un teorema, allora lo è anche __ __ p __ __ __ __ g __ __

Oppure se è stato appurato che:
__ p __ __ g __ __ __ è un teorema allora anche __ p __ __ __ g __ __ __ __

La regola di inferenza stabilisce un legame di natura causale tra la teorematicità di due stringhe senza pronunciarsi sulla teorematicità di nessuna delle due.

2) una stringa del tipo __ __ p  __ __ p __ __ p __ __ g __ __ __  __ __ __ __ può venire esclusa semplicemente in base alla sua forma.

3) Supponiamo di voler stabilire se la stringa __ __ p __ __ g __ __ __ __               (1)
è un teorema.
Controlliamo prima di tutto se è un assioma o no. Se si tratta di un assioma, allora è un teorema per definizione, e l’esame è finito. Nel nostro caso non lo è.

Consideriamo allora l’assioma ( x p__ g x  __ )  più semplice possibile cioè:

Successive applicazioni della regola non conducono alla stringa (1).

Consideriamo allora l’assioma ( x p__ g x __ ) più semplice possibile dopo (2) cioè:

Riassumendo: in ognuna delle due interpretazioni dotate di un significato che abbiamo fornito, ogni stringa ben formata ha un suo equivalente in un enunciato grammaticale. L’isomorfismo, però, tra le varie strutture potrebbe essere del tutto ignorato; ognuna ha la sua autonomia: 1+1 = 2 è indipendente dal fatto che __ p __ g __ __ è  un teorema.