La sostituzione semantica di numeri con configurazioni di punti probabilmente fu attuata dai Pitagorici con il proposito di (vedi P. Zellini, Gnomon.Una indagine sul numero, cap.1, Adelphi, Milano 1999):

i) rappresentare l' essenza del divenire in natura riconducendolo ad un puro accrescimento quantitativo di astratte configurazioni spaziali di punti (stigme), cioè di forme risultanti dalla combinazione di unità indivisibili (atomoi) identiche fra loro, il cui significato formale dipende solo dalla quantità e dalla posizione (thesin); essi in tal modo applicano ai processi naturali, dopo averlo reso ancora più astratto, il procedimento costruttivo tipico sia della codificazione del linguaggio naturale mediante una scrittura alfabetica che della codificazione dei numeri mediante un sistema posizionale, entrambe introdotte nel contesto delle civiltà idrauliche (parola o numero come combinazione, rispettivamente, di fonemi o di cifre, un ristretto numero di entità elementari fra loro distinte che ricorrono, rispettivamente, nella sintassi o negli algoritmi e concorrono alla costituzione del significato in base alla loro posizione);

ii) ricondurre ogni generazione in natura a un processo di accrescimento numerico (una pura quantità che diviene potenzialmente infinita) derivabile a partire dall' unità mediante un algoritmo ricorsivo (che rappresenta sia il determinismo che il carattere di invarianza del divenire) e rendere evidente all' intuizione tale rappresentazione con la metafora di una pseudo-similitudine geometrica, cioè dell' invarianza per estensione di una forma spaziale; rappresentare, cioè, mediante successioni e serie aritmetiche spazializzate, il carattere presupposto dell' invarianza di scala dei processi di accrescimento (ricorsività o similitudine della generazione), scanditi con regolarità dallo scorrere del tempo (arithmos = ritmo);

iii) formalizzare i processi di ideazione, considerandoli in astratto come una sintassi di semplici relazioni fra enti, cioè come una concatenazione di relazioni rigorosamente deducibili l' una dall' altra a partire da poche relazioni elementari; rendere concetti e proposizioni evidenti all' intuizione mediante semplici forme spaziali (eidos = forma);

iv) rendere operativi i processi mentali atti a rappresentare la ricorsività del divenire riconducendoli agli algoritmi dell' aritmetica (il cui carattere ricorsivo e 'posizionale' è evidente sia nel sistema di numerazione che nei procedimenti di calcolo dei Babilonesi); potenziare inoltre il carattere euristico del calcolo aritmetico per mezzo della sintassi spaziale (mono, bi o tri-dimensionale), la quale permette di cogliere simultaneamente, cioè in modo sintetico, nessi che si esplicano in una successione temporale (unidimensionale), cioè in modo analitico.

Il limite della concezione pitagorica è la mancata distinzione fra le unità numeriche e i costituenti ultimi della realtà da loro presupposti (atomoi), cioè fra una rappresentazione universale ed astratta di fenomeni particolari e concreti e i fenomeni stessi: essi intendevano che i numeri sono configurazioni di atomi in senso letterale, non metaforico, cioè non intendevano il numero, o il punto ad esso corrispondente, come segno (semeion) che rinvia a un' oggetto individuale, ma come l' oggetto individuale stesso.

D' altra parte, è molto probabile che essi intendessero che le configurazioni di punti sono figure geometriche in senso metaforico, in quanto non poteva sfuggire alla loro puntuale capacità di indagine il fatto che le forme spaziali corrispondenti ai loro rigorosi algoritmi aritmetici non avevano alcune delle caratteristiche essenziali delle figure geometriche che erano note sia ai Babilonesi che agli Egiziani. In ogni caso, rappresentando mediante forme spaziali i rigorosi algoritmi ricorsivi della loro aritmetica, I Pitagorici aprirono la strada allo sviluppo dell' algebra geometrica di Euclide, cioè di una teoria rigorosa delle grandezze continue.

Unità numerica
i) unità numerica come ente indivisibile (atomos) avente posizione (thesis), cioè come un punto (stigme) costitutivo di una forma spaziale regolare (eidos); ii) unità numerica come principio primo ed elemento di scansione di una successione temporale regolare (arithmos).

Numeri lineari

serie di base o orologio (accrescimento lineare in relazione alla scansione del tempo): an = n
gnomone della serie di base (regolo che fornisce la 'conoscenza' della relazione invariante fra accrescimento spaziale e accrescimento temporale): Dan/Dt  = 1
mappa ricorsiva (equazione alle differenze finite) che determina la serie di base:  an+1 = an + 1
primo numero (condizione iniziale) della serie di base:  a1 = 1
determinazione (per somma) della serie di base (funzione oraria dell' orologio): a1 = 1 , an+1 = a1 + Sk=1,n Dak /Dt :  1+1 = 2   1+1+1 = 3   1+1+1+1 = 4

Numeri bidimensionali (poligonali)
[Invarianza di forma (similitudine) della configurazione spaziale bidimensionale che rappresenta, ricorsivamente, l' accrescimento numerico di un sistema fisico come funzione quadratica dell' accrescimento lineare del tempo. Si tratta in effetti di una pseudo-similitudine, in quanto invarianza di forma di pseudo-poligoni: mentre infatti l'area dei quadrati di figura 3 è an = n², l'area dei triangoli equilateri di figura 2 è an =  n²/2 + n/2.]

Numeri triangolari

successione di base (variabile temporale discreta):  n = 1  2  3  4   ,  Dt = 1
gnomone della progressione (rapporto incrementale per Dt = 1): Dan/Dt  =  n + 1 =  2  3  4
di ragione 1 (accelerazione = 1)
mappa ricorsiva (equazione alle differenze finite):  an+1 = an + (n + 1)
primo numero (condizione iniziale):  a1 = 1
serie (somma): a1 , an+1 = a1 + Sk=1,n Dak /Dt :  1   1+2 = 3   1+2+3 = 6   1+2+3+4 = 10
funzione oraria discreta (accrescimento quadratico):  an = n² - (an - n)  ,   an =  n²/2 + n/2

Numeri quadrati

successione di base (variabile temporale discreta):  n =  1   2   3   4   , Dt = 1
gnomone della progressione (rapporto incrementale per Dt = 1): Dan /Dt  =  2n + 1 =  3  5  7
di ragione 2 (accelerazione = 2)
mappa ricorsiva (equazione alle differenze finite):  an+1 = an + (2n + 1)   ,   (n+1)² = n² + 2n +1
primo numero (condizione iniziale):  a1 = 1
serie (somma): a1 , an+1 = a1 + Sk=1,n Dak /Dt :  1   1+3 = 4   1+3+5 = 9   1+3+5+7 = 16
funzione oraria discreta (accrescimento quadratico):  an = n²

Numeri rettangolari
[ la forma geometrica bidimensionale in tal caso non è invariante per accrescimento numerico: si tratta infatti di un rettangolo in cui il rapporto dei lati (n+1)/n non è costante al variare di n: tale rapporto tende però a 1 al tendere all' infinito del numero n di iterazioni. Il fatto che i Pitagorici prendano in considerazione anche numeri la cui forma spaziale non è invariante è un indizio del fatto che la loro aritmo-geometria è essenzialmente un' aritmetica rappresentata, solo metaforicamente e non alla lettera, con una pseudo-geometria. La corrispondenza fra unità numeriche ed enti indivisibili aventi posizione, cioè fra numeri e atomi, è invece un indizio del fatto che l' aritmetica dei Pitagorici è in sostanza una fisica-matematica, come del resto risulta dalle considerazioni di quest' articolo.]

successione di base (variabile temporale discreta):  n =  1   2   3   4   , Dt = 1
gnomone della progressione (rapporto incrementale per Dt = 1): Dan /Dt  =  2n + 2 =  4  6  8
di ragione 2 (accelerazione = 2)
mappa ricorsiva (equazione alle differenze finite):  an+1 = an + (2n + 2)   ,   (n+1)(n+2) = n(n+1) + 2n+2
primo numero (condizione iniziale):  a1 = 2
serie (somma): a1 , an+1 = a1 + Sk=1,n Dak /Dt :  2 = 1*2   2+4 = 6 = 2*3   2+4+6 = 12 = 3*4  2+4+6+8 = 20 = 4*5
funzione oraria discreta (accrescimento quadratico):  an = n (n+1) = n² + n

Numeri pentagonali
successione di base (variabile temporale discreta):  n =  1   2   3   4   , Dt = 1
gnomone della progressione (rapporto incrementale per Dt = 1): Dan /Dt  =  3n + 1 =  4  7  10
di ragione 3 (accelerazione = 3)
mappa ricorsiva (equazione alle differenze finite):  an+1 = an + (3n + 1)
primo numero (condizione iniziale):  a1 = 1
serie (somma): a1 , an+1 = a1 + Sk=1,n Dak /Dt :  1   1+4 = 5   1+4+7 = 12   1+4+7+10 = 22
funzione oraria discreta (accrescimento quadratico):  an = 3n²/2 - n/2

Numeri esagonali
successione di base (variabile temporale discreta):  n =  1   2   3   4   , Dt = 1
gnomone della progressione (rapporto incrementale per Dt = 1): Dan /Dt  =  4n + 1 =  5  9  13
di ragione 4 (accelerazione = 4)
mappa ricorsiva (equazione alle differenze finite):  an+1 = an + (4n + 1)
primo numero (condizione iniziale):  a1 = 1
serie (somma): a1 , an+1 = a1 + Sk=1,n Dak /Dt :  1   1+5 = 6   1+5+9 = 15   1+5+9+13 = 28
funzione oraria discreta (accrescimento quadratico):  an = 2n² - n .

Essi in tal modo espressero mediante un algoritmo aritmetico, da un lato un determinismo causale presupposto nei processi naturali, dall' altro un principio di induzione completa cioè, in ultima analisi, il fondamento di un metodo assiomatico-deduttivo atto a rappresentare tale determinismo. Inoltre, riconducendo a configurazioni spaziali di punti le relazioni quantitative elementari fra entità individuali, i Pitagorici resero accessibili alla percezione e all' intuizione immediata, per mezzo di una metafora geometrica, concetti relativi a processi naturali di generazione e accrescimento nel tempo.

La crisi dell' aritmo-geometria pitagorica conseguente alla scoperta delle grandezze incommensurabili (cioè della presenza di quantità infinite di ordine superiore nell' informazione che deve essere gestita dal matematico per rappresentare correttamente la continuità dei processi naturali), produrrà in seguito una scissione, ritenuta irriducibile fino all' inizio dell' era moderna, fra: i) algoritmi aritmetici e determinismo causale (aprendo la strada, da un lato alla cinematica geometrica di Eudosso, dall' altro alla fisica finalistica di Aristotele); ii) algoritmi aritmetici (e digitali in generale) e algebra geometrica euclidea (calcolo analogico con l' uso di riga e compasso); iii) algoritmi matematici e logica deduttiva applicata al linguaggio naturale (teoria dei sillogismi di Aristotele).

Come i Pitagorici e a differenza di Aristotele - e, probabilmente, anche di Euclide - Galilei ritiene che gli enti matematici non siano il risultato di un processo di astrazione del pensiero, ma che abbiano una vera e propria esistenza immanente rispetto alle cose sensibili e che una perfetta corrispondenza fra linguaggio matematico e processi fisici renda possibile lo sviluppo di una scienza fisico-matematica:

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l' universo), ma non si può intendere se prima non s' impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto ( G. Galilei, Il Saggiatore, VI, 232 ).

Il tempo e lo spazio sono considerati da Galilei come grandezze continue e il linguaggio più adatto per rappresentare i processi naturali è per lui quello della geometria di Euclide - reso efficace con l' uso del metodo meccanico di Archimede -, non quello dell' aritmetica dei Pitagorici. Nella determinazione della legge di caduta dei gravi, Galilei mutua da Oresme la rappresentazione geometrica della relazione funzionale fra una grandezza intensiva come la velocità e una grandezza estensiva come il tempo: la determinazione dello spazio in funzione del tempo, cioè della funzione oraria, mediante integrazione di una mappa ricorsiva è resa però possibile dall' uso di una metafora aritmetica mutuata, in ultima analisi dagli algoritmi dell' aritmo-geometria pitagorica. L' algoritmo ricorsivo dell' aritmetica è ora applicato alle grandezze continue della geometria, ma soltanto come procedimento euristico: il risultato del calcolo aritmetico deve essere dimostrato geometricamente di volta in volta.

Salv. Avanti di ogni altra cosa, bisogna considerare come il movimento de i gravi descendenti non è uniforme, ma partendosi dalla quiete vanno continuamente accelerandosi... Ma questa general cognizione è di niun profitto, quando non si sappia secondo qual proporzione sia fatto questo accrescimento di velocità, conclusione stata sino a i tempi nostri ignota a tutti i filosofi, e primieramente ritrovata e dimostrata dall' Accademico, nostro comun amico; il quale, in alcuni suoi scritti non ancor pubblicati ... dimostra come l' accelerazione del moto retto de i gravi si fa secondo i numeri inpari ab unitate, cioè che segnati quali e quanti si voglino tempi eguali se nel primo tempo, partendosi il mobile dalla quiete, averà passato un tale spazio, come, per esempio, una canna, nel secondo tempo passerà tre canne, nel terzo cinque, nel quarto sette, e così conseguentemente secondo i succedenti numeri caffi, che in somma è l' istesso che il dire che gli spazii passati dal mobile, partendosi dalla quiete... son tra di loro come i quadrati de' tempi ( G. Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, Einaudi, Torino 1970, p.269 ).

Considerando intervalli temporali e spaziali discreti, Galilei riconduce la legge di caduta dei gravi alla mappa ricorsiva con numeri quadrati dell' aritmo-geometria Pitagorica, evidenziando la struttura aritmetica di base della legge geometrica:
 

La rappresentazione della grandezza intensiva velocità come misura dell' accrescimento dello spazio (gnomone) ad ogni iterazione in una mappa ricorsiva (differenziale) che viene applicata con continuità, istante per istante, e la determinazione dello spazio in funzione del tempo come somma (integrale) di infinite velocità istantanee, derivano dall' applicazione di un algoritmo aritmetico ricorsivo, rappresentativo di un determinismo causale, alle grandezze continue della geometria. Tale applicazione è però intuitiva e manca di rigore, anzi incorre nei paradossi di Zenone in quanto (utilizzando il metodo meccanico che Archimede ha applicato alla statica in modo euristico) considera un segmento come composto di infiniti punti e una figura piana come composta di infiniti segmenti. La corretta rappresentazione di una relazione funzionale fra grandezze continue richiede in effetti lo sviluppo di una geometria analitica, e un uso corretto di mappe ricorsive differenziali e un corretto calcolo di integrali richiede lo sviluppo di un calcolo infinitesimale; ma la geometro-aritmetica di Galilei costituisce un ottimo punto di partenza per lo sviluppo sia della geometria analitica di Descartes e Fermat che del calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz, cioè per una effettiva aritmetizzazione della geometria al fine di costruire un linguaggio matematico adeguato allo sviluppo di una dinamica come scienza.

Salv. ...Imperocchè, essendo nel moto accelerato l' agumento continuo, non si può compartire i gradi della velocità, la quale sempre cresce, in numero alcuno determinato, perchè, mutandosi di momento in momento, son sempre infiniti: però meglio potremo esemplificare la nostra intenzione figurandoci un triangolo, qual sarebbe questo ABC... dove voglio che ci imaginiamo, le parti segnate nella linea AC esser tempi eguali, e le parallele tirate per i punti D, E, F, G rappresentarci i gradi delle velocità accelerate e crescenti egualmente in tempi eguali... Ma perchè l'accelerazione si fa continuamente di momento in momento, e non intercisamente di parte quanta di tempo in parte quanta, essendo posto il termine A come momento minimo di velocità, cioè come stato di quiete e come primo istante del tempo susseguente AD, è manifesto che avanti l' acquisto del grado di velocità DH, fatto nel tempo AD, si è passato per altri infiniti gradi minori e minori, guadagnati ne gli infiniti istanti che sono nel tempo DA, corrispondenti a gli infiniti punti che sono nella linea DA: però per rappresentare la infinità de i gradi di velocità che precedono al grado DH, bisogna intendere infinite linee sempre minori e minori, che si intendano tirate da gl' infiniti punti della linea DA, parallele alla DH, la qual infinità di linee ci rappresenta in ultimo la superficie del triangolo AHD... E sì come la BC era massima delle infinite del triangolo, rappresentanteci il massimo grado di velocità acquistato dal mobile nel moto accelerato, e tutta la superficie di esso triangolo era la massa e la somma di tutta la velocità con la quale nel tempo AC passò un tale spazio, così il parallelogrammo AMBC viene ad esser una massa ed aggregato di altrettanti gradi di velocità, ma ciascheduno eguale al massimo BC, la qual massa di velocità viene ad esser doppia della massa delle velocità crescenti del triangolo, sì come esso parallelogrammo è doppio del triangolo; e però, se il mobile che cadendo si è servito de i gradi di velocità accelerata, conforme al triangolo ABC, ha passato in tanto tempo un tale spazio, è ben ragionevole e probabile che servendosi delle velocità uniformi, e rispondenti al parallelogrammo, passi con moto equabile nel medesimo tempo spazio doppio al passato dal moto accelerato ( G: Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, cit., pp. 277-79 ).

La mappa logistica di May.

Consideriamo l' evoluzione nel tempo di una popolazione di individui di una data specie: sia y(0) il numero di individui iniziale e y(n) il numero di individui al tempo t = n T, essendo T un periodo di tempo fisso (ad esempio un anno). Iniziamo con un modello fortemente semplificato, supponendo che la capacità riproduttiva r della popolazione rimanga invariata nel tempo e che non ci siano né predatori, né competizione fra gli individui (disponibilità illimitata di cibo). In tal caso la successione {y(n)} che, per un dato r, descrive l' evoluzione della popolazione a intervalli di tempo discreti è generata dalla mappa ricorsiva lineare

La (1) è un' equazione differenziale alle differenze finite che si può dedurre dall' equazione differenziale dy/dt = a y , con a costante, la quale descrive l' evoluzione deterministica di un sistema dinamico lineare (a una variabile), non dipendente dal tempo. Approssimando dt con un piccolo intervallo finito di tempo t , si ottiene infatti la mappa discreta  y(n+1) = y(n) + a y(n) t . L' integrazione della (1) dà la funzione esponenziale discreta y(n) = y(0)  rⁿ . Si hanno così i tre comportamenti tipici di un sistema dinamico lineare non dipendente dal tempo: se r = 1 (due figli per coppia) la popolazione rimane costante nel tempo (caso particolare di moto periodico), se r < 1 la popolazione diminuisce con n tendendo asintoticamente a zero (rilassamento verso un punto fisso), se r > 1 essa cresce indefinitamente (fuga all' infinito).

Questo modello malthusiano è però poco realistico in quanto, essendo le risorse ambientali di fatto limitate, quando il numero di individui aumenta si riduce la disponibilità di cibo e si ha una competizione che tende a diminuire la capacità riproduttiva. Sostituendo nella (1)  r (1- c y(n)) al posto di r per tenere conto della competizione, e introducendo la nuova variabile x(n) = c y(n) per eliminare la costante c, si ha la mappa ricorsiva non lineare (detta 'mappa logistica')

Un semplice metodo grafico permette di analizzare il comportamento qualitativo delle soluzioni della (2) e di visualizzare le successioni {x(n)} per vari valori r. La (2) corrisponde a una famiglia di funzioni della forma  fr (x) = r x (1- x) , con x Î [0, 1] e r Î [0, 4] . Si disegni il grafico di fr (x) in funzione di x - un arco di parabola con x Î [0, 1] , vertice V º (1/2, r/4) e r Î [0, 4] , affinchè la funzione possa essere iterata - e si tracci la bisettrice del primo quadrante. Dato x(0), per trovare x(1) = fr (x(0)) è sufficiente tracciare una linea verticale a partire dal punto (x(0), 0) fino a intersecare il grafico di fr (x): l' ordinata di questo punto di intersezione è x(1) . Si può iterare la funzione e ottenere  x(2) = fr (x(1)) = fr (fr (x(0))  tracciando una linea orizzontale fino a intersecare la bisettrice nel punto (x(1), x(1)): l' intersezione di una seconda linea verticale con il grafico di fr (x) darà x(2) , e così via. (v. Fig. 2.1).

Analizziamo ora il comportamento del sistema dinamico deterministico non lineare (2) al variare del parametro r . I valori x* della x per cui la bisettrice del primo quadrante interseca il grafico di fr (x), cioè le soluzioni x0 = 0 e x1 = 1-1/r  dell' equazione x = r x (1- x) , sono i punti fissi (di periodo 1) delle successioni {x(n)}, in quanto se x(0) = x* , allora x(t) = x* per ogni t . Un punto fisso x* è stabile se per esso si ha | dfr /dx | < 1, instabile se invece si ha | dfr /dx | > 1. Essendo dfr /dx = r - 2r x , la condizione di stabilità è | r - 2r x | < 1, quindi x0 = 0 è stabile per 0 £ r < r0 = 1, mentre x1 = 1-1/r è stabile per 1 < r < r1 = 3. Per 0 £ r <r0, x0 = 0 è l'unico punto fisso stabile ed è definito un attrattore della successione {x(n)} in quanto, come si può vedere graficamente, x(n) si avvicina rapidamente a 0 qualunque sia il valore iniziale x(0) (caso di estinzione della popolazione). Per r0 < r < r1, x0 = 0 diviene instabile e il punto fisso stabile x1 = 1-1/r diviene il nuovo attrattore per ogni x(0) ¹ 0.

Consideriamo ora la famiglia di funzioni del quarto ordine x(n+2) = gr ⁽¹⁾ (x(n)) = fr (fr (x(n))). I valori della x per cui la bisettrice del primo quadrante interseca il grafico di gr ⁽¹⁾ (x), cioè le soluzioni x0 , x1 , x11 e x12  dell' equazione di quarto grado x = gr ⁽¹⁾(x), sono i punti fissi di periodo 2 delle successioni {x(n)}. Per  r1 < r < r2 = 3,448... x0 è un punto fisso instabile e x1, divenuto instabile, si è scisso nei punti fissi x11 e x12 , entrambi stabili (biforcazione); essendo x11 = fr (x12) = fr (fr (x11)) e x12 = fr (x11) = fr (fr (x12)), la coppia (x11, x12) costituisce un attrattore ciclico di periodo 2 della successione {x(n)} al quale convergono, come si può vedere graficamente, i valori x(n) a partire da un qualsiasi valore iniziale x(0) (caso in cui il numero di individui della popolazione oscilla fra due valori stabili). Excel: logmap

Ripetendo il procedimento sopra descritto, è possibile determinare una successione di valori r0 , r1 , r2 , r3 , ... di r tali che se rk < r < rk+1 allora x(n), qualunque sa il valore iniziale x(0) ¹ 0, converge verso un attrattore ciclico e oscilla con un moto di periodo 2^k  fra 2^k punti fissi stabili: questi sono le soluzioni dell' equazione x = gr ^(k) (x), dove  x(n + 2^k) = gr ^(k) (x(n)) (con gr ^{( 0 )} = fr ). In tal modo, alla successione di valori di r corrisponde una cascata di biforcazioni sempre più ravvicinate nel tempo. Tale successione converge ad un valore limite rc = 3,569945... e per r un po' superiore a rc si ha la transizione da un comportamento ordinato costituito di moti periodici a un andamento caotico, con la comparsa di successioni aperiodiche che, non convergendo su alcun attrattore finito, vagano sull' intervallo [0, 1] (caos deterministico). L' andamento caotico è imprevedibile, data la 'forte dipendenza dalle condizioni iniziali': si può infatti dimostrare che la distanza | x(n) - x'(n) | fra due successioni inizialmente molto vicine, cioè tali che | x(0) - x'(0) | = e , con e molto piccola, cresce come 2ⁿ e , cioè cresce esponenzialmente con il tempo. Turbo-pascalY W biforR R Q

Il comportamento complesso di tale sistema dinamico deterministico (non lineare), codificato da un' equazione semplice come la mappa logistica, è stato descritto da R. May in un articolo del 1976 dal titolo Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics. Il 'diagramma di biforcazione' rappresenta gli attrattori del sistema al variare del parametro r e si ottiene nel modo seguente: fissato un valore di r, si itera la mappa (2) a partire da una data x(0); dopo un numero N di iterazioni grande rispetto alla durata dei periodi (N = 10.000) si segnano, in un diagramma, sull' asse delle ascisse il valore di r e sull' asse delle ordinate gli N successivi valori della x a partire da N; si cambia poi, di poco, il valore di r e si ripete la procedura. Osservando il diagramma di biforcazione si capisce perchè il comportamento caotico non è riducibile al comportamento casuale: continuando ad aumentare r al di sopra di rc , appaiono delle finestre con moti periodici e, ingrandendo una di tali finestre, essa risulta simile all' intero diagramma. La struttura di tale sistema dinamico ha, in teoria, profondità infinita.