Fondamenti logici della matematica

V. SISTEMI ASSIOMATICI FORMALI E MODELLI INTERPRETATIVI: MODALITA' E ATTEGGIAMENTO PROPOSIZIONALE.

1. Autonomizzazione dalla realtà e fondamenti della matematica.

Autonomizzazione della matematica dalla realtà.

Uno degli avvenimenti più significativi della storia della matematica del XIX secolo fu l' acquisizione di una nuova concezione del rapporto fra matematica e natura. Descartes, Newton, Leibniz e Euler credevano che le astrazioni matematiche fossero la forma ideale degli oggetti e dei processi reali e ritenevano di aver svelato con il loro lavoro il disegno matematico dell' universo. Ma gradualmente e involontariamente i matematici iniziarono a introdurre concetti che avevano scarso significato geometrico o aritmetico e scarso rapporto con l' intuizione e la percezione immediata. La rappresentazione dei numeri negativi sulla retta e dei numeri complessi sul piano aveva contibuito a rendere intuitive le nuove entità , ma l' introduzione del tempo come una quarta dimensione e dello spazio delle configurazioni n-dimensionale di un sistema dinamico, degli ipernumeri e delle geometrie n-dimensionali, delle geometrie non euclidee e delle varietà n-dimensionali, delle funzioni non rappresentabili geometricamente, dei numeri irrazionali e dei numeri transfiniti produsse un divario crescente fra matematica e realtà. Lo sviluppo di algebre formali, pure combinazioni di simboli privi di significato aritmetico, e di geometrie non intuitive, svincolate da ogni rappresentazione nello spazio fisico tridimensionale, rese necessario riconoscere che la matematica è una creazione umana relativamente libera e dall' apparenza arbitraria, piuttosto che una idealizzazione dei processi naturali derivata unicamente dai dati della realtà.

La scoperta che la matematica non è un corpo di verità sul mondo reale pose il problema dei suoi fondamenti e della coerenza delle sue branche principali. Le dimostrazioni della coerenza della geometria, dell' algebra e dell'analisi vennero ricondotte alla dimostrazione della coerenza dell' aritmetica, della teoria degli insiemi e della stessa logica. Per garantire alla matematica una qualche verità e oggettività, alcuni studiosi adottarono la concezione, di origine platonica, che i concetti matematici non sono dei prodotti della mente umana, ma esistono indipendentemente da questa con gli stessi caratteri di necessarietà degli oggetti della realtà esterna. Altri studiosi, partendo dalla constatazione che le teorie matematiche prodotte fino allora dovevano storicamente molto ai suggerimenti forniti dalla natura e si dimostravano utili per rappresentarne le proprietà, pensavano che le nuove teorie prodotte dalla mente umana avrebbero potuto essere un' anticipazione di nuove proprietà della natura e che si sarebbero potute dimostrate utili per rappresentarle. In ogni caso, seguendo la sua tendenza all' astrazione e alla generalizzazione, la matematica si era ormai distaccata dal mondo reale e dalle scienze della natura e ricercava le basi su cui fondare la propria autonomia.

Autonomizzazione della lirica moderna dalla realtà

Fondamenti logici della matematica:

i) Logica matematica: Frege e Russell.

Verso la fine del XIX secolo era iniziato il movimento di assiomatizzazione della matematica: numerosi studiosi avevano incominciato a rivedere i fondamenti logici dei vari rami della matematica ma, nel considerare i rapporti fra matematica e logica, alcuni di essi si accorsero che la logica impiegata dalla matematica non poteva essere data per scontata. Nella Begriffsschrift (1987) Frege dava una fondazione assiomatica della logica matematica sviluppando il calcolo delle classi iniziato da Boole ed estendendendolo alle relazioni: come Peirce e indipendentemente da questi, egli distingueva fra una proposizione e una funzione proposizionale a una o due variabili vincolate da quantificatori, i quali indicano il dominio della o delle variabili per cui la funzione proposizionale è vera. Frege introduceva il concetto di implicazione materiale e la distinzione fra l' enunciato di una proposizione e l' affermazione della sua verità. In Die Grundlagen der Arithmetik (1884), egli si accinse poi a lavorare al suo vero scopo: costruire la matematica come un' estensione della logica. Egli cercò di fondare l' aritmetica sulla teoria degli insiemi, ma si imbattè nei paradossi di quest' ultima.

Mentre Poincaré e un gruppo di matematici appartenenti alla scuola di pensiero intuizionista tentavano un approccio alla matematica del tutto differente, mentre Hilbert fondava la scuola formalista incominciando a formulare una propria fondazione sistematica della matematica, il programma di Frege di fondare la matematica sulla logica venne ripreso da Russell (1903) e dalla scuola logicista. Nei Principia Mathematica (1910), scritto in collaborazione con Whitehead, Russell introduceva le nozioni indefinite di proposizione, funzione proposizionale, affermazione e negazione di una proposizione e disgiunzione di due proposizioni e definiva la congiunzione e l' implicazione fra proposizioni; egli poi introduceva alcuni postulati logici ( fra cui il modus ponens ) la cui indipendenza e coerenza non poteva essere dimostrata e da questi passava a dedurre teoremi di logica ( fra cui le regole sillogistiche ). Una funzione proposizionale indica la classe di tutti gli oggetti che godono di una determinata proprietà: la funzione è di tipo 0 se si applica a entità individuali, è di tipo 1 se si applica a entità individuali o a funzioni di tipo 0, in generale è di tipo n+1 se le sue variabili sono di tipo minore o uguale a n. La teoria dei tipi evita i paradossi della teoria degli insiemi distinguendo una gerarchia di funzioni proposizionali, ma la sua elaborazione risulta eccessivamente complicata. Russell, seguendo Frege, definisce poi il numero cardinale di una classe come la classe di tutte le classi simili alla classe data. A partire dai numeri cardinali, è possibile infine costruire il sistema dei numeri reali e complessi, le funzioni e di fatto tutta l' analisi; la geometria può essere derivata dall'aritmetica con il metodo delle coordinate. Russell ha portato a termine un' assiomatizzazione della logica in forma simbolica e ha dato un enorme contributo allo sviluppo della logica matematica, ma la sua fondazione logica della matematica ha ricevuto serie critiche: se la matematica fosse una scienza formale puramente deduttiva i cui teoremi seguono dalle leggi del pensiero, essa non potrebbe fornire informazione con l' introduzione di nuovi concetti nè trovare una rappresentazione in una varietà di fenomeni naturali: essa si ridurrebbe a una pura tautologia priva di significato.

ii) Filosofia e logica intuizionista: Poincaré e Brouwer.

Come nel caso del logicismo, la filosofia intuizionista nacque con il movimento di assiomatizzazione della matematica della fine del XIX secolo e il suo sviluppo fu stimolato dalla scoperta dei paradossi della teoria degli insiemi. Il primo importante intuizionista fu Poincaré: egli si oppose decisamente alla teoria ingenua degli insiemi di Cantor in quanto sorgente di paradossi e criticò l' assioma della scelta della teoria assiomatizzata di Zermelo perché richiedeva un' infinità non numerabile di scelte. Hadamard e Lebesgue (1905) andarono oltre nella critica affermando che anche un' infinità numerabile di scelte sarebbe impossibile sia a concepirsi che ad essere effettivamente realizzata. Poincaré asseriva inoltre che la nostra intuizione precede ogni fondazione assiomatica dell' aritmetica e che i tentativi dei logicisti di fondare la matematica sulla logica avrebbero ridotto la matematica a un' immensa tautologia.

Brouwer (1918) diede la prima esposizione sistematica della filosofia intuizionista: egli asserì che la logica non è uno strumento per scoprire delle verità, ma un linguaggio atto a rappresentarle e a comunicarle; i principi logici sono soltanto le regolarità osservate a posteriori nel linguaggio. La matematica non poggia sulla logica né sull' esperienza, ma sull' intuizione: l' astrazione della forma vuota del contenuto comune a tutte le dualità che risultano dal passare del tempo diviene l' intuizione originaria della matematica. La possibilità della ripetizione illimitata della forma vuota, il passo da n a n + 1, conduce agli insiemi potenzialmente infiniti di Aristotele, non agli insiemi infiniti in atto di Cantor, in cui tutti gli enti sono presenti 'contemporaneamente'. Brouwer asserì poi che non tutti i principi logici sanciti fin dal tempo di Aristotele sono accettabili dall' intuizione matematica: il principio del terzo escluso, essenziale per il metodo indiretto di dimostrazione, produce antinomie se applicato ad insiemi infiniti. Nel caso di insiemi ( potenzialmente ) infiniti esistono delle proposizioni che non sono né vere né false, ma indecidibili: se definiamo la k-esima posizione dell' allineamento decimale di p come la posizione del primo zero che è seguito dagli interi 1 ... 9, non saremo mai in grado di dimostrare se k esiste. Brouwer e la sua scuola esigevano un metodo per costruire o definire in un numero finito di passi ogni concetto di cui si stabilisse l' esistenza: essi escludevano sia insiemi infiniti in atto che ogni concetto la cui esistenza fosse stabilita mediante un metodo indiretto di dimostrazione. Weil (1949) disse che le dimostrazioni non costruttive di esistenza informano il mondo dell' esistenza di un tesoro senza svelarne la posizione e che aderire alla filosofia ituizionista significa abbandonare i teoremi di esistenza dell' analisi di Bolzano e Weierstrass. Brouwer e Weil sono riusciti a ricostruire solo parti elementari dell' algebra, della geometria e dell' analisi basandosi sulle costruzioni da loro accettate, e le loro dimostrazioni sono molto complicate.

iii) Sistemi formali e metamatematica: Hilbert e Godel.

La filosofia formalista fu il terzo fra i principali indirizzi di pensiero che nacque con il movimento di assiomatizzazione della matematica della fine del XIX secolo e il cui sviluppo fu stimolato dalla scoperta dei paradossi della teoria degli insiemi. Hilbert, il fondatore della scuola formalista, asserì che ciascuna disciplina matematica deve avere una propria fondazione assiomatica e che la matematica è una collezione di sistemi formali, ciascuno con le proprie definizioni, i propri assiomi, le proprie regole di deduzione e i propri teoremi. Gli oggetti dei sistemi formali sono i simboli matematici stessi svuotati di ogni significato: essi non rappresentano più oggetti fisici idealizzati; gli enunciati sono tradotti in formule costituite da una combinazione di simboli ed i ragionamenti deduttivi consistono nel derivare formule applicando regole formali di manipolazione ai simboli di formule stabilite in precedenza: una proposizione è vera se e solo se è un assioma del sistema formale o è derivabile da altre proposizioni per mezzo delle regole formali. Hilbert utilizzo il simbolismo della logica matematica sviluppata da Frege e Russel e applicò le regole della logica Aristotelica asserendo che proibire a un matematico l' uso del principio del terzo escluso è come proibire a un astronomo l' uso del telescopio; egli inoltre accettò le dimostrazioni indirette di esistenza e gli insiemi infiniti in atto, accusando gli intuizionisti di promulgare un embargo nei confronti della parte più creativa della matematica.

Hilbert e i suoi allievi Ackermann, Bernays e von Neumann giunsero gradualmente, negli anni fra il 1920 e il 1930, a un metodo per dimostrare la coerenza di ogni sistema formale, noto come metamatematica. Hilbert proponeva di usare nella metamatematica una logica diversa da quella usata nei sistemi formali della matematica, che fosse libera da tutte le obiezioni e utilizzasse solo metodi di dimostrazione costruttivi e finitisti vicini ai principi intuizionisti ( evitando le dimostrazioni indirette di esistenza, l' induzione transfinita e l' assioma della scelta ). Poichè la coerenza di una parte fondamentale della matematica poteva essere ridotta a quella dell' aritmetica dei numeri naturali o di una teoria degli insiemi abbastanza ricca da implicare gli assiomi di Peano, Hilbert e la sua scuola si accinsero a dimostrare la coerenza dell' aritmetica e della teoria degli insiemi.

L' ambizioso programma della scuola formalista di assiomatizzare l' intera matematica fu però messo radicalmente in discussione da due sconcertanti teoremi di Godel (1931). Il primo teorema dimostrava che la coerenza di una teoria che comprenda la logica formale e l' aritmetica non può essere stabilita all' interno della teoria stessa. Esso era un corollario di un secondo teorema che dimostrava che se una teoria T è coerente e se T comprende tra i suoi teoremi gli assiomi del sistema formale dell' aritmetica allora T è incompleta: nella teoria c' è un enunciato S tale che né S né non-S è un teorema della teoria; quindi nella teoria c' è un enunciato vero che non è dimostrabile. Il teorema di incompletezza di Godel si applica alla teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo, al sistema logico-matematico di Russell e alla assiomatizzazione della teoria dei numeri di Hilbert; esso implica che nessun sistema formale coerente può includere una qualsiasi branca significativa della matematica in quanto esistono enunciati che non possono essere dimostrati al suo interno ma di cui si può dimostrare la verità per mezzo di argomentazioni non formali. Indebolendo le restizioni imposte ai metodi dimostativi della metamatematica e usando l' induzione transfinita, Gentzen (1936) riuscì a stabilire la coerenza della teoria dei numeri e di parti ristrette dell' analisi; Godel (1940) poi dimostrò che se il sistema assiomatico di Zermelo privo dell' assioma della scelta è coerente, allora il sistema ottenuto aggiungendo questo assioma è coerente.

Tutti gli sviluppi a partire dal 1930 lasciano aperti due poblemi fondamentali: i) la dimostrazione della coerenza dell' analisi priva di restrizioni e della teoria degli insiemi, ii) la costruzione della metamatematica su una base intuizionista o la determinazione dei limiti di questo approccio. Poichè la fonte delle difficoltà in entrambi i problemi è l' uso di insiemi e di processi infiniti, Weil osservò che la matematica è la scienza dell' infinito. La matematica è nata su una base intuitiva ed empirica; l' esigenza di rigore logico è stata introdotta dai greci, ma di fatto non è stata rispettata fino al XIX secolo, epoca in cui si ripresentò l' esigenza di una fondazione logica della matematica. Gli sforzi per perseguire il rigore hanno però condotto a un' impasse, nonostante i tentativi più recenti del gruppo di matematici che scrive con lo pseudonimo di Bourbaki (1949) di dare una fondazione coerente alle strutture fondamentali della matematica ( d' ordine, topologiche e algebriche ): la matematica rimane viva e vitale, ma solo su una base pragmatica. Lo stato attuale della matematica è stato ben descritto da Weil (1944): 'La questione dei fondamenti ultimi e del significato ultimo della matematica rimane aperta... La matematizzazione può ben essere un' attività creativa dell'uomo... le cui decisioni storiche sfuggono a una completa razionalizzazione oggettiva'.

Rielaborazione di brani scelti da: M. Kline, Storia del pensiero matematico, Einaudi, Torino 1991, vol. I, cap.: 43; 51.