Geometrie

1. Logica e geometria euclidea

1. Nascita delle prime costituzioni politiche atte a garantire ai liberi cittadini la proprietà privata ereditaria della terra in base all' argomentazione dei diritti nelle pubbliche assemblee ( costituzione delle poleis elleniche ).
2. Passaggio dal mithos al logos ( discorso come nesso ): liberazione del sapere del cittadino, libero proprietario fondiario, dalla soggezione al sapere sacerdotale e ricerca filosofica  della verità (o falsità) della (non) appartenenza di determinate proprietà e/o relazioni a entità individuali. Sorge il problema di ancorare la concatenazione delle deduzioni logiche a principi primi la cui verità è condivisa ( Platone ) per evitare un rinvio all' infinito della concatenazione o la deduzione di qualunque tesi da ipotesi arbitrarie ( Sofisti ).
3. Applicazione alla natura del logos proprio della politeia e primo tentativo di costituire un modello matematico del cosmo: sviluppo dell' aritmo-geometria ( scuola pitagorica ) come tentativo di ricondurre la molteplicità delle forme naturali ad astratte configurazioni geometriche risultanti dalla combinazione di unità numeriche ( relazioni astratte fra enti astratti ).
4. Analisi critica razionale della tradizione algoritmica babilonese nella risoluzione di problemi di conteggio o di misurazione; applicazione agli algoritmi dell' esigenza di rigore logico introdotta nell'ambito della filosofia e ricerca della validità del metodo risolutivo e dell' esattezza del risultato nei problemi di misurazione come in quelli di conteggio.
5. La scoperta che il lato e la diagonale di un quadrato sono grandezze incommensurabili ( scuola pitagorica ) pone il problema di un possibile rinvio all' infinito del risultato di alcune misurazioni fondamentali. Il calcolo digitale con cifre numeriche proprio di un algoritmo matematico del discreto come l' aritmetica ( e l' algebra ) appare inadeguato per la risoluzione esatta di problemi generali di misurazione e di conteggio; appare inoltre falsificato ogni modello matematico della natura di tipo aritmo-geometrico.

1. Introduzione di una logica matematica del continuo sia come metodo rigoroso di risoluzione di problemi generali e astratti che come strumento esatto di calcolo; ogni problema viene tradotto nel linguaggio di un' algebra geometrica che rappresenta i dati mediante lunghezze di segmenti invece che mediante cifre numeriche e la risoluzione del problema consiste nella costruzione geometrica del segmento che rappresenta la soluzione. La riga e il compasso divengono così sia mezzi di rappresentazione formale di relazioni tra enti sia strumenti di calcolo analogico ( l' errore relativo della misurazione è dato dal rapporto fra larghezza e lunghezza del segmento tracciato sulla carta di papiro ).
2. Introduzione del principio di non contraddizione a fondamento della deduzione logica (Parmenide) e scoperta dei paradossi relativi alla dicotomia discreto-continuo (Zenone): né le grandezze discrete né quelle continue  permettono una descrizione matematica del movimento.
3. La rappresentazione di intervalli spaziali mediante grandezze continue, infinitamente divisibili, permette una descrizione matematica del movimento purchè gli intervalli temporali siano rappresentati anch' essi mediante grandezze continue ( Aristotele ); possibilità della descrizione matematica del moto uniforme dei corpi celesti e nascita di una cinematica celeste ( Eudosso ).
4. Nascita della teoria delle proporzioni di Eudosso-Euclide, come base di ogni misurazione ( o conteggio ): essa imbriglia in una forma razionale il possibile rinvio all' infinito nella misurazione di grandezze.
5. Nascita della logica delle classi ( Aristotele ) e della geometria come scienza deduttiva fondata su principi primi ( metodo assiomatico-deduttivo di Euclide ), cioè di una teoria delle proprietà invarianti di configurazioni spaziali di oggetti fondata su una rappresentazione formale di relazioni astratte tra enti. Gli enti sono definiti esplicitamente a partire da pochi enti elementari interni alla teoria ( punto, linea, retta, piano ) e le loro relazioni sono dedotte mediante una catena di implicazioni logiche a partire da pochi postulati accettati come veri perchè considerati evidenti.

Cosmologie

2. Algebra, geometria analitica e analisi infinitesimale 

1. Introduzione della numerazione posizionale a base dieci con l' indicazione dello zero come cifra anche in posizione finale ( Hindu, 600 ). I rapporti irrazionali fra grandezze incommensurabili sono trattati come numeri e il loro valore approssimato è espresso mediante cifre decimali.
2. Introduzione dei numeri negativi e dello zero come numero accanto ai numeri positivi ( Hindu, 600 ): l' annullamento di grandezze positive e negative eguali in modulo viene trattato alla stregua dell' annullamento di crediti e debiti nel sistema creditizio ( mediato da lettere di credito ) e del clearing bancario.
3. Risoluzione di equazioni di 2^ grado e di sistemi algebrici lineari con il metodo di trasporto e semplificazione ( al Khowarizmi, 830 ). Accanto e in contrapposizione al metodo  sintetico della geometria si sviluppa così il metodo analitico dell' algebra, la quale determina le grandezze incognite anticipando il loro valore e operando su di esse come se fossero note ( tale anticipazione di valore con richiesta di solvibilità corrisponde a quella in uso nel sistema creditizio ).
4. Con l' introduzione dei numeri negativi e con l' approssimazione dei numeri irrazionali mediante cifre decimali inizia lo sviluppo di algoritmi digitali ricorsivi svincolati dall' esigenza di un significato numerico immediato o da una rappresentazione spaziale delle relazioni fra grandezze, le quali costituicono il limite dell' aritmetica e degli algoritmi analogici della geometria. La generalità e l' astrazione sono però ancora limitate dalla mancanza di espressioni simboliche per i numeri e per le operazioni algebriche; manca inoltre la ricerca del valore esatto delle soluzioni e l' esigenza di rigore, cioè l' esigenza di dare una dimostrazione logica della validità dei procedimenti usati.
5. Distinzione fra i procedimenti generali dell' algebra ( logistica speciosa ) e quelli particolari dell' aritmetica ( logistica numerosa ) con l' introduzione del calcolo letterale (Viète, 1591), un algoritmo generale che opera in astratto con grandezze note e incognite;    introduzione della distizione tra costanti, parametri e variabili e denotazione dei diversi tipi di grandezze con diversi tipi di lettere. Il metodo analitico dell' algebra letterale, meno formalizzato e non rigoroso, è tuttavia più generale e astratto di quello sintetico della geometria.

1. I problemi di algebra geometrica di grado superiore al secondo non sono risolubili con riga e compasso, ma richiedono l' utilizzazione della teoria delle sezioni coniche di Apollonio. Con l'applicazione dei procedimenti generali dell' algebra alla teoria delle coniche si attua il passaggio dall' algebra geometrica di Eudosso e Euclide alla geometria analitica ( algebrica ) di Descartes (1637) e Fermat (1637): introduzione di un sistema di coordinate ( Descartes ) e rappresentazione della curva che esprime la relazione tra due variabili con   un' equazione algebrica il cui grado classifica il tipo di funzione. Gli algoritmi algebrici rendono quasi automatici i procedimenti del pensiero e permettono di cogliere le connessioni tra problemi che nell' ambito della logica geometrica appaiono separati ( Descartes ).
2. L' applicazione dell' esigenza di generalità propria dell' algebra alla teoria delle sezioni coniche di Apollonio, mantenendo però l' uso dei procedimenti analogici propri della geometria, porta allo sviluppo della geometria proiettiva di Desargues (1639). Poiché la relazione di parallelismo non è invariante per proiezione e sezione, Desargues introduce i punti all' infinito comuni a rette parallele; tale concezione, del tutto estranea sia alla geometria euclidea che all' astronomia sferica, permette di considerare la retta e i vari tipi di coniche come forme geometriche derivabili l' una dall' altra mediante un cambiamento continuo. Poiché le proprietà di posizione e di intersezione sono logicamente prioritarie rispetto alle proprietà metriche, lo studio delle proprietà invarianti per trasformazioni proiettive rende la geometria proiettiva più generale e astratta della geometria euclidea.
3. La rappresentazione di intervalli spaziali e temporali con grandezze continue e la teoria delle grandezze di Eudosso-Euclide hanno reso possibile una cinematica celeste. La rappresentazione della velocità istantanea con una grandezza continua ( Galilei ), l' introduzione del sistema di coordinate ( Descartes ) e della funzione come traiettoria o linea oraria, lo sviluppo del concetto di tasso di variazione di una funzione come rapporto di grandezze evanescenti ( Newton, 1669 ) o come rapporto di grandezze infinitesime ( Leibniz, 1675 ) rendono ora possibile una dinamica.
4. Con l' applicazione degli algoritmi generali dell' algebra al calcolo di aree e volumi e con l' introduzione del nuovo concetto di derivata si attua il passaggio dal metodo di esaustione di Archimede al calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz; il calcolo dell' integrale viene concepito algebricamente come l' inverso del calcolo della derivata ( Newton ) o del differenziale ( Leibniz ). Il calcolo infinitesimale viene considerato da Leibniz e poi da Euler (1748) e Lagrange (1755) come un'estensione dell' algebra, come un' algebra delle grandezze infinitesime o infinite, le quali sono accettate dall' intuizione anche se non sono esattamente definite. Vengono prese in considerazione solo funzioni analitiche, cioè funzioni algebriche o funzioni esprimibili mediante un' espansione in serie di potenze, cioè concepibili come estensione di funzioni algebriche ( funzioni derivabili il cui grafico è una linea continua ).
5. Il problema di costruire una fondazione logica per il sistema numerico e per l' algebra risulta a quest' epoca estremamente difficile: viene così accettata una definizione puramente intuitiva, non rigorosa, del concetto di limite e di continuità. Il calcolo infinitesimale si riduce a un puro algoritmo la cui efficacia nel descrivere e risolvere problemi fisici risulta però evidente; l' intuizione fisica, il procedere per tentativi ed errori, la generalizzazione a partire da casi particolari, precedono storicamente ( ciò vale in generale e non solo in quest' epoca ) la codificazione in un sistema formale logicamente coerente.

Con la rivoluzione ( politica ) francese e la rivoluzione industriale inglese termina in Europa il predominio della proprietà privata della terra ( mediato dal capitale commerciale e manifatturiero ) e inizia il predominio del capitale industriale ( e del capitale finanziario ): la classe borghese, il cui potere economico era inserito nell' ambito del potere politico della classe di proprietari fondiari, deve ora gestire da sola entrambi i poteri e cercare il fondamento del diritto nel capitale accumulato con l' attività imprenditoriale individuale piuttosto che nella proprietà privata ereditaria della terra. L' argomentazione nell' ambito della costituzione politica dei diritti acquisiti con la proprietà privata della terra ( logos ) era distinta dal calcolo economico fondato sull' anticipazione del valore ( algoritmo ) così come i liberi proprietari fondiari erano distinti da artigiani e mercanti; ma una nuova logica a base algoritmica deve subentrare ora che il diritto politico del proprietario privato è fondato sulla sua attività economica di imprenditore che anticipa il valore.

Cosmologie

3. Geometria non euclidea e differenziale, gruppi di trasformazioni

1. Gli assiomi della geometria euclidea erano considerati verità evidenti sullo spazio fisico e sulle figure di questo spazio; poiché all' assioma delle parallele mancava la semplicità e l'evidenza degli altri assiomi, molti autori cercarono, invano, di dedurlo da questi o di sostituirlo con uno più evidente, finchè Lambert (1766) arrivò alla conclusione che l' assioma delle parallele non può essere dedotto dagli altri e che partendo da un assioma alternativo è possibile costruire una geometria logicamente coerente. Gauss (1817) trasse da ciò la conclusione estrema che la geometria euclidea non è necessariamente la geometria dello spazio fisico e la sua verità non può essere garantita a priori ma deve essere verificata sperimentalmente; Gauss e Lobatchevsky (1829) svilupparono poi la geometria non euclidea ( iperbolica ) anticipata da Lambert ritenendo che potesse essere la geometria dello spazio fisico allo stesso titolo di quella euclidea.
2. Nei suoi studi di geodesia e di cartografia, Eulero aveva espresso le coordinate di un punto di una superficie in funzione di due parametri u e v ; Gauss (1827) riconsiderò u e v come coordinate curvilinee ed espresse in funzione di queste le prorietà metriche e la curvatura  della superficie; egli sviluppò così una geometria intrinseca della superficie che non dipendeva dal fatto che questa fosse immersa in uno spazio a tre dimensioni; se si usavano come coordinate la latitudine e la longitudine, la geometria della superficie sferica non era euclidea.
3. Poichè la verità della geometria euclidea dipendeva da dati empirici, Riemann (1854) riteneva che solo l' analisi permettesse di cogliere le proprietà  dello spazio che sono sicuramente a priori; contrapponendosi alla concezione geometrica dello spazio assoluto e globale propria di Euclide o di Lobatchevsky, egli si propose di studiare, con gli strumenti della geometria differenziale, proprietà geometriche relative e locali di varietà a n dimensioni. Ritenendo che le relazioni metriche locali dello spazio reale dipendessero da forze connettive dovute alla distribuzione di materia, Riemann contrappose poi alla concezione geometrica dello spazio come presupposto della rappresentazione dei fenomeni una concezione analitica di uno spazio la cui struttura dipende da processi dinamici: egli aprì così la strada alla teoria della relatività generale di Einstein.
4. Riemann si accorse che le varietà a curvatura costante nulla sono spazi euclidei, mentre quelle a curvatura costante positiva o negativa sono spazi non euclidei; egli avanzò l' ipotesi che uno spazio bidimensionale a curvatura costante positiva ( una geometria non euclidea doppiamente ellittica che non aveva avuto uno sviluppo assiomatico come geometria piana )  potesse essere realizzato sulla superficie di una sfera, mentre Beltrami (1866) generò una pseudosfera con superficie a curvatura costante negativa sulla quale poteva essere realizzata una porzione ristretta della geometria non euclidea iperbolica di Gauss e Lobatchevschy.

1. Liberando la geometria dalla dipendenza da concetti metrici che non sono invarianti proiettivi ( mantenendo però la dipendenza dall' assioma euclideo delle parallele ), Staudt (1847) dimostrò che la geometria proiettiva ( sviluppata all' inizio dell' Ottocento da Poncelet e da Plucker ) è più fondamentale della geometria euclidea in quanto le trasformazioni proiettive sono logicamente antecedenti alle congruenze. La dimostrazione di Staudt suggeriva l' ipotesi che anche le geometrie non euclidee ( almeno quelle realizzate su varietà a curvatura costante ) fossero casi particolari della geometria proiettiva.
2. Cayley (1859) dimostrò che tutte le proprietà metriche delle figure non sono altro che proprietà proiettive in relazione con una conica ( o quadrica ) qualsiasi, chiamata l' assoluto; egli definì analiticamente distanze e ampiezze rapportando forme bilineari a forme quadratiche. Klein (1871) generalizzò l' idea di Cayley e dimostrò che la metrica dipende dalla scelta dell' assoluto e che la geometria parabolica ( Euclide ), quella iperbolica ( Lobatchevschy ) e quella ellittica ( Riemann ) sono le geometrie metriche che si possono ottenere a partire dalla geometria proiettiva; le congruenze sono particolari trasformazioni lineari del piano proiettivo che lasciano fisso l'assoluto.
3. Nel programma di Erlangen (1972) Klein affermò poi che ogni geometria può essere considerata come lo studio delle proprietà che sono invarianti rispetto a un gruppo di trasformazioni. La geometria proiettiva bidimensionale è lo studio delle proprietà che sono invarianti  rispetto al gruppo delle trasformazioni dei punti del piano nei punti di un piano ( collineazioni ) che sono rappresentate da sistemi di equazioni lineari nelle coordinate omogenee ( a determinante non nullo ). Le geometrie metriche sono ciascuna l' insieme delle proprietà che sono invarianti rispetto a un sottogruppo del gruppo proiettivo costituito dalle collineazioni che lasciano fissa la retta all' infinito e i punti ciclici ( geom. parabolica ) o una conica reale non degenere ( geom. iperbolica ) o un' ellisse immaginaria ( geom. semplicemente ellittica). Klein diede anche inizio allo studio degli invarianti rispetto al gruppo più generale delle trasformazioni biunivoche e bicontinue ( omeomorfismi ), che è l' oggetto della topologia.
4. Il punto di vista delle trasformazioni, stabilendo una connessione fra geometria e algebra astratta, ha fornito un metodo generale per classificare gran parte della geometria ( la geometria differenziale non rientra nello schema di Klein ); esso ha inoltre influenzato lo sviluppo della fisica matematica inducendo a formulare le leggi fisiche in modo che fossero invarianti rispetto alle trasformazioni di coordinate: tale esigenza, dopo che fu notata l' invarianza delle equazioni di Maxwell rispetto alle trasformazioni di Lorenz, ha portato alla formulazione della teoria della relatività ristretta.
5. Il modello della sfera di Riemann e della pseudosfera di Beltrami diedero una rappresentazione delle geometrie non euclidee doppiamente ellittica e iperbolica, a patto di interpretare le rette tracciabili con la riga con le geodetiche delle superfici. I modelli di Beltrami-Klein (1866) e Poincaré (1882) diedero due diverse rappresentazioni della geometria non euclidea iperbolica sullo stesso piano euclideo, interpretando i concetti di retta o di distanza tra due punti o di ampiezza di un angolo con relazioni tra enti del piano euclideo.
6. Nonostante questi modelli interpretativi rappresentassero i sistemi formali delle geometrie non euclidee e corroborassero la loro coerenza riconducendola a quella della geometria euclidea, i matematici della seconda metà dell' Ottocento abbandonarono l' idea di Gauss, Lobatchevschy e Riemann che lo spazio fisico potesse essere non euclideo e considerarono le geometrie non euclidee come una pura curiosità logico-matematica. Cayley e Klein consideravano lo spazio euclideo come fondamentale e Cayley inoltre riteneva che la geometria proiettiva fosse tutta la geometria. Poincaré, ritenendo che l' uomo crei la geometria e vi adatti le leggi fisiche in modo che entrambe poi si adattino al mondo esterno, considerava la geometria euclidea la più conveniente. L' avvento della teoria della relatività generale causò però un drastico cambiamento di atteggiamento nei confronti delle geometrie non euclidee, dimostrando che non era in discussione soltanto la semplicità  della geometria, ma la semplicità dell' intera teoria scientifica.

La scoperta che la matematica non è un corpo di verità sul mondo reale pose il problema dei suoi fondamenti e della coerenza delle sue branche principali. Le dimostrazioni della coerenza della geometria, dell' algebra e dell'analisi vennero ricondotte alla dimostrazione della coerenza dell' aritmetica, della teoria degli insiemi e della stessa logica. Per garantire alla matematica una qualche verità e oggettività, alcuni studiosi adottarono la concezione, di origine platonica, che i concetti matematici non sono dei prodotti della mente umana, ma esistono indipendentemente da questa con gli stessi caratteri di necessarietà degli oggetti della realtà esterna. Altri studiosi, partendo dalla constatazione che le teorie matematiche prodotte fino allora dovevano storicamente molto ai suggerimenti forniti dalla natura e si dimostravano utili per rappresentarne le proprietà, pensavano che le nuove teorie prodotte dalla mente umana avrebbero potuto essere un' anticipazione di nuove proprietà della natura e che si sarebbero potute dimostrate utili per rappresentarle. In ogni caso, seguendo la sua tendenza all' astrazione e alla generalizzazione, la matematica si era ormai distaccata dal mondo reale e dalle scienze della natura e ricercava le basi su cui fondare la propria autonomia.

Cosmologie