Osservazioni sulla geometria e lo spazio fisico.

1. Lo spazio cosmico di Aristotele e di Tolomeo è racchiuso in un luogo sferico (limitato e centrato): il moto locale in tale spazio non può essere infinito se non ritorna su se stesso (moto circolare uniforme); il moto in direzione radiale è finito e i due versi non sono equivalenti (spazio non isotropo). Se la geometria di Euclide è una teoria dello spazio, allora tale spazio non coincide con lo spazio fisico reale della cosmologia. Nel modello geocentrico la profondità dello spazio cosmico non è determinabile e lo spazio a due dimensioni della sfera del cielo (o della terra) è uno spazio non euclideo a curvatura costante positiva: tale spazio è descritto piuttosto dalla geometria sulla sfera di Menelao e dalla trigonometria sferica di Tolomeo. Quindi la geometria di Euclide, in quanto teoria dello spazio, sarebbe una teoria separata dall' attività percettivo-motoria, puramente concettuale. D' altra parte, gli assiomi della geometria sono considerati da Euclide autoevidenti, intuitivi e non arbitrari: essi sono strettamente connessi all' attività percettiva (similitudini) e motoria (rototraslazioni di corpi rigidi).

2. La geometria di Euclide non può quindi essere considerata una geometria dello spazio fisico globale (una geometria dello spazio euclideo), ma una teoria dei corpi rigidi considerati in astratto per le loro dimensioni e per la relazione fra le forme che li delimitano. Essa e una teoria locale delle configurazioni spaziali in quanto teoria delle relazioni fra grandezze (anche fra loro non commensurabili), cioè entità limitate la cui caratteristica essenziale è la divisibilità in parti sempre divisibili (infinito in potenza). Si tratta di una logica-matematica del continuo, intesa sia come metodo rigoroso di risoluzione di problemi generali e astratti che come strumento esatto di calcolo; ogni problema viene tradotto nel linguaggio di un' algebra geometrica che rappresenta i dati mediante lunghezze di segmenti invece che mediante cifre numeriche (per considerare il caso dell' incommensurabilità) e la risoluzione del problema consiste nella costruzione geometrica del segmento che rappresenta la soluzione. La riga e il compasso divengono così sia mezzi di rappresentazione formale di relazioni tra entità, sia strumenti di calcolo analogico.

3. L' infinito della geometria di Euclide è l' infinito potenziale della divisione delle grandezze in parti sempre divisibili, non è un infinito attuale che si possa ottenere per addizione di infiniti enti. Solo in aritmetica è concepibile un numero potenzialmente infinito ottenibile per successiva addizione di unità indivisibili. Sia nell' algebra babilonese (che opera solo con numeri razionali positivi) che nell' algebra geometrica di Euclide (che affronta il problema delle operazioni con grandezze positive non commensurabili), la moltiplicazione ammette sempre operazione inversa; ciò non vale invece per l' addizione in quanto non sono concepiti né numeri né grandezze negativi. Solo con l' introduzione dello zero e dei numeri negativi (attuata dai matematici indiani e poi arabi a partire dal VII secolo) inizia lo sviluppo di un' algebra nel senso moderno di una teoria del corpo dei numeri reali.

4. Con l' acquisizione, nel XVI secolo, dei metodi di risoluzione delle equazioni di terzo e di quarto grado e con lo sviluppo del calcolo letterale (Viéte e Descartes) diviene possibile applicare gli algoritmi dell' algebra alla geometria di Euclide e alla teoria delle coniche di Apollonio e introdurre la geometria analitica (Descartes e Fermat): inizia così quel processo di algebrizzazione della geometria che sfocierà nella concezione delle geometrie come teorie degli invarianti di gruppi di trasformazioni (Klein).

5. La rivoluzione copernicana è un momento cruciale nel processo di formazione del concetto di spazio euclideo infinito. L' involucro a sfere concentriche del cosmo tolemaico riesce ancora a contenere il doppio moto, di rotazione e di rivoluzione, di un corpo massiccio come la terra; il problema del parallasse costringe però Copernico a espandere notevolmente la sfera del cielo, ora ritenuta immobile, e a introdurre un' immenso spazio vuoto fra questa e la sfera di Saturno. Non solo viene introdotta nel cosmo la dimensione della profondità - determinabile nell' ambito di un modello eliocentrico -, ma questa è tendenzialmente la prima dimensione di uno spazio globale immobile, omogeneo (vuoto) e isotropo (il centro della sfera del cielo non è più centro di gravità), cioè di uno spazio euclideo a tre dimensioni.

6. La concezione del moto inerziale, cioè del moto rettilineo uniforme come 'stato di moto' (ultimo atto del processo di autonomizzazione del movimento dallo spazio limitato e centrato che ne costituiva il presupposto - processo iniziato con la teoria dell' impetus nel XIV secolo)  presuppone la concezione di uno spazio lineare a tre dimensioni, vuoto (omogeneo e isotropo) e infinitamente esteso: lo spazio euclideo di Newton. D' altra parte, solo un punto materiale, cioè un corpo puntiforme dotato di inerzia, può descrivere con il suo moto una retta di uno spazio euclideo.

7. La concezione di uno spazio euclideo non è correlata soltanto alla misura di intervalli spaziali e temporali propria della geometria euclidea, ma anche alla misura di una velocità istantanea, cioè del limite di un rapporto (flussione) in una relazione funzionale fra grandezze variabili (fluente). Lo spazio euclideo nasce in quanto spazio della geometria analitica (algebrica) di Cartesio e non in quanto spazio dell' algebra geometrica di Euclide: nella geometria di Euclide non è possibile la concezione, per addizione, di un' estensione infinita (la res extensa di Descartes), ma solo relazioni geometriche locali intese come uguaglianze di rapporti (proporzioni) fra grandezze delimitate dai loro estremi. Nella nuova concezione non si procede soltanto per divisione: astraendo dalla profondità si ottiene la superficie, astraendo dalla larghezza si ottiene la linea e astraendo dalla lunghezza si ottiene il punto; ma anche per addizione: il punto con il suo moto descrive la linea, la linea descrive la superficie e la superficie il solido.

8. Lo spazio assoluto di Newton, cioè lo spazio euclideo vuoto e infinito come presupposto del moto inerziale, è il residuo del luogo assoluto come limite del moto locale dopo che la sfera del cielo 'si è gonfiata enormemente fino a scoppiare' (il 'big bang epistemologico' che apre la possibilità di una concezione euclidea e poi relativistica dello spazio e del moto). La descrizione effettiva del moto richiede però la scelta di un sistema di riferimento inerziale, cioè di un corpo rigido in moto rettilineo uniforme rispetto allo spazio assoluto. Lo spazio assoluto e il tempo geometrizzato dei processi reversibili della dinamica sono concepiti da Newton come il sensorio di Dio, il mezzo della sua onnipresenza (e onniscienza). In concomitanza con il processo di democratizzazione attuato dalla rivoluzione francese, Kant concepisce poi lo spazio e il tempo geometrizzato come il sensorio (le categorie sintetiche a priori) di ogni soggetto conoscente, il presupposto intuitivo di ogni suo concetto.

Mario De Paoli